Далее. Исходным пунктом, основой всякого процесса познания является какой-то минимум эмпирических, чувственных данных. Это одинаково относится и к кулинарии, и к математике, хотя в последней, конечно, связь с эмпирией иногда бывает трудно уловить. В силу этого для познания любой вещи или процесса надо получить от них этот минимум данных. А если его нет, то нет и процесса познания. Именно к этому сводится и невозможность познания прошлого, и невозможность познания далекого, и невозможность познания «внутреннего мира» муравья. Но опять-таки, ни теория относительности, ни термодинамика здесь ни при чем.

Энгельс давно сказал, что «мы можем познавать только при данных нашей эпохой условиях, насколько эти условия позволяют». И к этому сводятся по крайней мере три класса из четырех, указанных выше. И тут можно было бы не спорить, а просто удивиться тому, зачем понадобился докладчику столь мощный научный аппарат для обоснования ясных и даже тривиальных положений.

Но спорить, к сожалению, придется. Спорить придется потому, что проф. Кольман настаивает на том, чтобы назвать все эти вещи принципиально непознаваемыми, чтобы ввести в философию термин «принципиально непознаваемая вещь». И здесь спор не только о словах, а о существе дела.

Наша гносеология подходит к вещам не с абстрактных позиций вечности, а с точки зрения способности человека к познанию, с точки зрения и в рамках познающего человечества. И только такой подход является правильным. В рамках такого подхода представляется бесспорной неограниченная способность человечества к познанию объективного мира. И именно эта способность имеется в виду, когда говорится, что в мире нет непознаваемых вещей, а есть вещи еще не познанные. Вводить в нашу гносеологию категорию «принципиально непознаваемая вещь» так же неправильно, как вводить в нее категорию «вечных истин». Хотя и то и другое существует в действительности, но в философии это ничего, кроме общих мест, не даст и дать не может…

…Проф. Кольман, кроме того, что он говорит о «принципиально непознаваемых вещах», вводит понятие «принципиально неразрешимые вопросы».

В качестве примера докладчик дает три таких вопроса:

1. Нельзя однозначно решить систему n уравнений с n+1 неизвестными.

2. Нельзя построить алгоритм для решения любого класса математических задач.

3. Нельзя указать верхнюю границу логических процессов, переложимых на счетно-решающие устройства.

Количество таких вопросов может быть увеличено.

То, что эти вопросы неразрешимы, не подлежит сомнению. Но суть дела в том, что здесь, собственно, нет вопросов. Здесь есть, напротив, определенные и четкие ответы, свидетельствующие не о слабости, а о силе познания.

Если мы утверждаем, что нельзя дать алгоритм для решения любого класса математических задач, то мы не ставим вопрос. Вопрос уже решен. Он решен долгой и кропотливой работой математиков, начиная с Эвклида, который в «Началах» дал алгоритм (правда, в геометрической форме) для нахождения наибольшего общего делителя, и кончая, допустим, Марковым.

Проф. Кольману лучше, чем любому из присутствующих здесь, известно, что в истории математики каждое такое установление «факта невозможности», начиная с установления факта несоизмеримости отрезков, было крупной победой математической мысли. Это же относится и к другим областям науки.

Это не неразрешимые, а именно разрешенные вопросы…

И, наконец, последний вопрос – о диалектическом материализме и конечности мира в пространстве.

Товарищи, выступавшие по этому вопросу, начинали с естественно-научной стороны и доказывали бесконечность мира. Мне кажется, что такой подход в данном случае не совсем правилен. Проф. Кольман вовсе не доказывает ни того, что мир конечен, ни того, что он бесконечен. Его мысль иная. Он так ее формулирует: «…с чисто логической стороны допущение о пространственной конечности мира столь же совместимо с материализмом, как и допущение о пространственной бесконечности мира».

Таким образом, проблема ставится в чисто логической плоскости. Доказывается, что с чисто логической стороны суждение «мир материален» совместимо как с суждением «мир конечен», так и с суждением «мир бесконечен».

Так ставит вопрос проф. Кольман, и именно с такой, чисто логической постановкой вопроса я не могу согласиться, не могу признать ее правильной.

Логика имеет свои пределы. Ни одно из этих суждений не может быть доказано чисто логическими приемами. Так же, как логически нельзя доказать существование Бога, так нельзя логически доказать ни существования материи, ни ее конечности или бесконечности. В рамках формальной логики это, если угодно, «принципиально недоказуемые суждения». <…>

Указанные выше суждения недоказуемы логическими приемами. Они слишком общи для логики, и поэтому доказательства лежат за пределами логики, лежат в естествознании.

Очевидность указанных выше положений становится совершенно явной, если мы, например, сравним такие суждения: «мир материален» и «мир непознаваем». Логически их совместимость или несовместимость не может быть доказана. Если кто-нибудь сомневается в этом, может попробовать.

Таким образом, мне кажется, что та логическая форма, которая принята в докладе проф. Кольмана для решения данного вопроса, является непригодной для дела, и постановка этого вопроса в логической форме неправомерна.

Теперь посмотрим, как решает докладчик поставленную задачу по существу. Задача решена очень просто. Проф. Кольман берет два возражения против возможности признания мира конечным, разбивает эти возражения, а поскольку иных возражений нет, то делается известный уже вывод о «логической совместимости». Алгоритм, как видите, несложный.

В о з р а ж е н и е 1. Если мир конечен, то он ограничен; если мир ограничен, то он во что-то вмещен; если мир во что-то вмещен, то материя ограничена чем-то нематериальным. Это даже не философское возражение, а недоумение обыкновенного, обыденного, как говорят иногда философы, сознания – если мир конечен, то что же находится за этим «концом», что лежит за пределами, за границами мира?

Но для математика это наивный вопрос. Конечность мира не предполагает его ограниченность, говорит проф. Кольман. Это «наглядно» показывают («по аналогии») конечные и замкнутые, но вовсе не ограниченные многообразия одного и двух измерений. Давайте последуем совету докладчика и попробуем «наглядно» убедиться в конечности мира по математическим моделям этой конечности.

Возьмем одномерное замкнутое многообразие. Примером его является окружность.

Что здесь характерно? Что определяет окружность как одномерное многообразие? То, что каждая точка окружности есть ее внутренняя точка или, как говорят математики, каждая точка является гомеоморфным образом интервала. Следовательно, данное многообразие является конечным, замкнутым, но не ограниченным, ибо оно ни с чем, кроме себя, не граничит.

Здесь может последовать вопрос: но ведь линия ограничена, так сказать, «с боков». Математик этот вопрос отвергнет и скажет: так как по условию это – одномерное многообразие, то не может быть и речи о «боках», их не существует, ибо это уже второе измерение.

Такова первая аналогия, которая должна «наглядно» убедить нас в конечности мира.

Примерами двумерного многообразия могут являться или поверхность обыкновенного бублика («тор»), или сфера, или поверхность цирковой гири («сфера с n ручками»). Здесь также каждая точка поверхности есть ее внутренняя точка (гомеоморфная внутренности круга). Поэтому здесь нет границ, хотя многообразие конечно и замкнуто.

<…> На мой взгляд, всякая попытка от образа трехмерного конечного и неограниченного многообразия умозаключать к конечности реального, физического, а не математического пространства есть глубоко ошибочная вещь. И именно «наглядные» аналогии проф. Кольмана свидетельствуют об этом. Они показывают, что любое исследование математических многообразий не решает вопрос о конечности или бесконечности мира. Мы действительно можем дать математическую модель конечного трехмерного мира и утверждать, что эта модель неограниченна. Но эта модель не исчерпывает и не может исчерпать свойств реального пространства. Больше того, я осмелюсь утверждать, что признание конечности не математического, а реального, физического пространства, несомненно, ведет к признанию его физической ограниченности, реальной ограниченности в реальном мире, а не в мире математических абстракций.