Итак, элементы памяти с двумя состояниями – триггеры – составляют основу компьютеров (и почему их не назвали «дваггерами»?). Одно из состояний инженеры обозначили числом 0, а другое – 1. Стало быть, триггер способен «помнить» одно из этих чисел. Маловато для серьезного счета, не так ли? Тогда и вспомнили о двоичной системе Лейбница. Инженеры соединили несколько триггеров в цепочку и назвали эту «гирлянду» регистром. Каждый триггер в регистре, подобно цифрам в десятичном числе, обладает своим весом. В зависимости от позиции в регистре, вес триггера может составлять 1, 2, 4, 8 и так далее, – это степени числа 2. Например, число 12 изображается в двоичной системе так (рис. 106).

Рис.106 – Изображение числа 12 в двоичной системе

Сравните эту кодировку с десятичной системой, – принцип тот же, только веса разрядов другие. Если в десятичной системе вес очередного разряда вдесятеро больше предыдущего, то в двоичной системе – вдвое. Числа, хранящиеся в триггерах (0 или 1) служат множителями этих весов. Таким образом, при достаточной длине регистра в двоичной системе можно изобразить сколь угодно большое число.

Договоримся о форме записи двоичных чисел, иначе путаницы не избежать. У программистов приняты две формы: к символам двоичного изображения добавляют либо суффикс «B» (от Binary – «двоичный»), либо маленькую двоечку. Например, число 12 в двоичной системе записывается так:

1100B или 1100b или 1100₂

А иначе эту запись можно понять как «тысяча сто» в десятичной системе.

Шестнадцатеричная система

Компьютеры никогда не жаловались на двоичную систему, она их вполне устраивает. Сетовать стали программисты, – уж очень громоздкой получалась запись сравнительно небольших чисел, например:

4005 = 111110100101₂

А если программистам несподручно, они что-нибудь придумают. Придумка была простой: двоичную запись разбили на группы по четыре двоичных цифры в каждой – тетрады (от греческого слова Tetra – «четыре»). И каждую тетраду записали в привычной для людей десятичной системе, разделяя тетрады точками. Например, десятичное число 4005 преобразили так:

4005 = 111110100101₂ –> 1111.1010.0101₂ –> 15.10.05

Тетрады могут содержать числа от 0 до 15 – всего получается 16 значений, потому систему назвали шестнадцатеричной. Со временем запись сделали ещё короче, заменив числа от 10 до 15 буквами латинского алфавита:

      A=10

      B=11

      C=12

      D=13

      E=14

      F=15

Тогда показанная выше запись преобразилась так: 15.10.05 –> FA5

Рис. 107 показывает это наглядней.

Рис.107 – Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное

Шестнадцатеричную запись можно спутать с десятичной, и даже принять за слово, поскольку в ней встречаются буквы. Потому для таких чисел учредили свои правила: шестнадцатеричная запись числа должна начинаться с цифры, а завершаться суффиксом «H» (от Hexadecimal, Hex – «шестнадцатеричный»). Значит, изобразить число FA5 правильней так:

0FA5H или 0FA5h

Применяют и другие формы записи шестнадцатеричных чисел. Так, в языке Си принята приставка «0x» (0xFA5), а в Паскале начинают с приставки «$» – это знак доллара ($FA5). В таких записях лидирующий ноль не требуется, но для лучшего восприятия указывают обычно две, четыре, либо восемь цифр (в зависимости от величины числа или разрядности данных), например:

12 = 0x0C       = $0C       <– байт (byte)

4005 = 0x0FA5       = $0FA5       <– слово (word)

4005 = 0x00000FA5 = $00000FA5 <– длинное слово (longint)

Чем хороша шестнадцатеричная система? Легкостью перевода чисел в двоичную систему и обратно. После небольшой тренировки любой может сделать это в уме. При переводе в двоичную систему заменяем каждую шестнадцатеричную цифру четырьмя двоичными и «склеиваем» эти тетрады между собой. И, хотя компьютеры по-прежнему работают в двоичной системе, программисты дружно перешли на шестнадцатеричную. Вот таблица для перевода небольших чисел из одной системы в другую.

Табл. 11 – Изображения чисел в различных системах счисления

Десятичная

Двоичная

16-ричная

Десятичная

Двоичная

16-ричная

0

0000

0

8

1000

8

1

0001

1

9

1001

9

2

0010

2

10

1010

A

3

0011

3

11

1011

B

4

0100

4

12

1100

C

5

0101

5

13

1101

D

6

0110

6

14

1110

E

7

0111

7

15

1111

F

Другие системы счисления

Итак, мы познакомились с тремя позиционными системами счислений: десятичной, двоичной и шестнадцатеричной. Существуют ли другие системы? Конечно! Во всех позиционных системах вес цифры определяется её положением в числе, сравните.

2048 = 2 • 10³ + 0 • 10² + 4 • 10¹ + 8 • 10⁰ - десятичная;

12 = 1100₂ = 1 • 2³ + 1 • 2² + 0 • 2¹ + 0 • 1⁰ - двоичная;

4000 = $FA0 = F • 16² + A • 16¹ + 0 • 16⁰ - шестнадцатеричная.

Число, на котором построена система, называют её основанием. Можно выдумать столько систем счисления, сколько существует чисел, то есть, бесконечно много. Пока нам достаточно тех, что придуманы. А если с других планет прилетят существа с семью пальцами на руках? Для них, вероятно, «родной» будет семеричная система, и мы должны быть готовы к этому!

Так мы подошли к задаче по настоящему серьезной: изобразить число в некоторой системе счисления (основания систем ограничим числами от 2 до 16).

Изображение числа в заданной системе счисления

Преобразуя числа в десятичную систему, мы «отгрызали» цифры, начиная с младших разрядов, операциями деления и получения остатка. Точно так же преобразуют числа и в другие системы, только откалывают куски иного размера. Поскольку в двоичной системе есть только две цифры, то для неё младшая цифра отсекается операцией MOD 2, а старшая часть – операцией DIV 2. Для шестнадцатеричной системы – соответственно операциями MOD 16 и DIV 16. Отсюда следует правило: для преобразования числа в N–ричную систему счисления младшую цифру отделяют операцией MOD N, а старшую часть числа – операцией DIV N.

В программе «P_47_1» функция ConvertFromNumber – «преобразовать из числа» – делает именно то, о чем сказано выше. Обратите внимание на строковую константу.

const CDigits : string = '0123456789ABCDEF';

Она служит для изящного преобразования чисел 0–15 в шестнадцатеричные цифры «0»–«F». Константы, для которых явно указан тип, называют типизированными, – это пример такой константы.

{ P_47_1 – Преобразование в произвольную систему счисления }

{ Функция преобразования десятичного числа в другие системы счисления }