Изобразим какое-нибудь число, например 777. В нем один и тот же знак "7" участвует 3 раза, но когда он стоит справа, то означает семь единиц, когда в центре — семь десятков, когда слева — семь сотен. Таким образом, при записи числа цифра может иметь начертание одно и то же, а числовые значения — разные, в зависимости от места, позиции, на которой она стоит.

Такой принцип представления чисел называется поместным, или позиционным. Для записи любых сколь угодно больших чисел достаточно десяти цифр!

Каждая позиция, или разряд, числа имеет определенный "вес" (единицы, десятки, сотни и т. д.), поэтому число 777 можно расписать как

777 = 7∙10²+ 7∙10 + 7,

т. е. как семь сотен плюс семь десятков и плюс семь единиц, а число, скажем, 4608 — следующим образом:

4608 = 4∙10³ + 6∙10² + 0∙10 + 8,

т. е. как четыре тысячи плюс шесть сотен плюс нуль десятков и плюс восемь единиц.

Если призвать на помощь алгебру и вместо чисел записать буквы, то можно получить такую общую форму представления числа:

М = а_n∙10ⁿ + а_n-1∙10^n-1 + а₁∙10 + a₀

или сокращенную — через коэффициенты, если опускать степени числа 10:

М = (а_nа_n-1…а₁a₀)

"Мы все учились понемногу", поэтому должны, конечно же, знать, что число 10 является основанием системы счисления. Коэффициенты а₀ (число единиц), a₁ (число единиц второго разряда, т. е. десятков), а₂ (число единиц третьего разряда, т. е. сотен) и т. д. могут принимать значения, не превышающие основания системы: от 0 до 9. Эти коэффициенты можно получить формальным нулем как остатки от последовательного деления числа М на основание системы, т. е. на 10:

Цифры, полученные в остатке и последнем результате деления (они выделены синим цветом), и дают искомое изображение числа в десятичной позиционной системе счисления. Такая формальная процедура, лишенная, вообще говоря, смысла для десятичной системы, незаменима, как мы увидим, для систем с другими основаниями.

Примером непозиционной системы счисления является римская нумерация. Так, в числе II единица в левой позиции имеет "вес", равный 1, а такая же единица в числе IX — "вес", равный минус 1. В числе XXXV (35) цифра X во всех позициях означает одно и то же — 10 единиц.

Основное преимущество позиционных систем счисления — удобство записи чисел и выполнения арифметических операций. Об этом мы узнаём с первого класса школы: сложение и умножение — "столбиком", деление — "углом" (для сравнения попробуйте перемножить римские числа…). По-видимому, в этом и заключена одна из основных причин того, что наша система счисления, будучи позиционной, завоевала столь прочные позиции.

Однако наблюдательный читатель может возразить: ведь две из древних систем счисления — двадцатеричная индейцев-майя и шестидесятеричная древних вавилонян — являются практически совершенными позиционными системами.

Вы правы, читатель. У вавилонян и индейцев-майя существовал позиционный принцип записи чисел. Напомним, что в арифметике майя одно и то же число, записанное в первом и во втором разрядах, отличалось одно от другого в 20 раз (т. е. в число раз, равное основанию системы); у вавилонян же прямой "клин" мог означать и 1, и числа, кратные 60, а одинаковые числа, помещенные в разные разряды, отличались в 60, 60²,60³ и т. п. число раз.

Более того, в 1665 г. французский математик Б. Паскаль показал, что за основание системы счисления можно принять любое число, а это значит, что каждое число можно представлять в виде комбинации степеней не числа 10, а какого-либо другого целого числа. Выберем, например, число 7:

М = а_n∙7ⁿ + а_n-1∙7^n-1 + а₁∙7 + a₀

Ясно, что значения коэффициентов а₀а₁….,a_n должны теперь быть не больше нового основания, т. е. 7: они могут принимать значения от 0 до 6.

Представим число 777 в семеричной системе, используя принцип последовательного деления его на основание этой системы:

В результате число 777₁₀ — так оно записано в десятичной системе — можно разложить по степеням основания 7:

(777)₁₀ = 2∙7³ + 1∙7² + 6∙7 + 0.

Если опустить степени числа 7, как мы делаем при записи чисел в десятичной системе, то получим семеричную запись этого числа: (2 160)₇. Здесь цифра 7 в индексе указывает основание системы.

Действуя аналогичным образом, убедимся, что основание привычной для нас десятичной системы — теперь нам придется писать 10₁₀ — будет изображаться в новой для нас семеричной системе как (13)₇. Число (147)₁₀ будет в этой системе "круглым" и равным (300)₇. Точно так же (343)₁₀ = (1 000)₇,т. е. и это число "круглое". Само основание семеричной системы (7)₁₀ запишется символом (10)₇.

Возможно, если бы у человека на руках было не десять, а семь пальцев, то мы бы считали сейчас не десятками, а семерками, и более привычной нам казалась бы семеричная система счисления, в которой сложение выполняется знакомым нам "столбиком" (с переносом единицы в старший разряд, если сумма больше 6), а таблица умножения — даже проще, чем наша.

— Но ведь тогда, — воскликнет все тот же дотошный читатель, — естественно предположить, что до того, как человек пришел к десятичному счислению, он пользовался при счете пальцами одной руки, значит, могло возникнуть и распространиться пятиричное счисление. Догадка не лишена оснований.

В пятиричной позиционной системе всего пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. В ней число 777 будет представляться количеством "пятерок", "двадцатипяток" и т. д.:

(777)₁₀ = 1∙5⁴ + 1∙5³ + 1∙5² + 0∙5 + 2 = (11 102)₅.

Когда-то пятиричным счислением пользовались (т. е. считали "пятерками") многие народы. Следы этой системы сохранились в римской нумерации: в ней кроме знаков для единицы, десяти, ста, тысячи есть специальные знаки для пяти (V), пятидесяти (L) и пятисот (D).

Еще один след счета "пятерками" можно найти в записи чисел у индейцев племени ацтеков, населявших в XI–XVI вв. территорию Мексики. Единицу они обозначали точкой, двойку — двумя точками и т. д. до пяти. В запись числа 6 входила вертикальная черта, отделявшая пять первых точек от шестой. Ясно, что здесь счет велся группами по пять предметов. Черта отделяла одну такую группу от другой, причем сама черта никакого числа не обозначала.

Вот как описывает счет "пятерками" у жителей Новой Гвинеи известный русский путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай:

"Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например бе, бе, бе…. Досчитав до пяти, он говорит ибон-бе (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет бе, бе…, пока не доходит до ибон-али (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая бе, бе…, пока не доходит до самба-бе и самба-али (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого".