2. Множества

1. Что такое множество? Ответить на этот вопрос не так просто, как это кажется на первый взгляд. В повседневной жизни и практической деятельности часто приходится говорить о некоторых совокупностях различных объектов: предметов, понятий, числе, символов и т.п. Например, совокупность деталей механизма, аксиом

- 20 -

геометрии, чисел натурального ряда, букв русского алфавита. На основе интуитивных представлений о подобных совокупностях сформировалось математическое понятие множества как объединения отдельных объектов в единое целое. Именно такой точки зрения придерживался основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор.

Множество относится к категории наиболее общих, основополагающих понятий математики. Поэтому вместо строгого определения обычно принимается некоторое основное положение о множестве и его элементах. Так, группа выдающихся математиков, выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки, исходит из следующего положения: «Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств».

2. Множество и его элементы. Утверждение, что множество А состоит из различимых элементов а₁, а₂, ... , а_n (и только из этих элементов), условно записывается A= {а₁, а₂, ... , а_n}. Принадлежность элемента множеству (отношение принадлежности) обозначается символом ∈ ,т.е. а₁ ∈ A, а₂ ∈ A,... а_n ∈ A, или короче . Если b не является элементом A, то пишут b ∉ A или b ∈̅ A

Два множества A и B равны (тождественны), A = B, тогда и только тогда, когда каждый элемента А является элементом В и обратно. Это значит, что множество однозначно определяется своими элементами.

Множество может содержать любое число элементов — конечное или бесконечное. Соответственно имеем конечные (множество цифр 0, 1, ..., 9 или страниц в книге) или бесконечные (множество натуральных чисел или окружностей на плоскости) множества. Не следует, однако, связывать математическое понятие «множество» с обыденным представлением о множестве как о большом количестве. Так, единичное (одноэлементное) множество содержит только один элемент. Более того, вводится также понятие пустого множества, которое не содержит никаких элементов. Пустое множество обозначается специальным символом ∅.

Роль пустого множества ∅ аналогична роли числа нуль. Это понятие можно использовать для определения заведомо несуществующей совокупности элементов (например, множество зеленых слонов, действительных корней уравнения x² + 1 = 0). Более существенным мотивом введения пустого множества является то, что заранее не всегда известно (или неизвестно вовсе), существуют ли элементы, определяющие какое-то множество. Например, множество выигрышей в следующем тираже спортлото на купленные билеты может оказаться пустым. Никто еще не знает, является ли

- 21 -

пустым или нет множество всех решений в целых числах уравнения x³ + y³ + z³ = 30. Без понятия пустого множества во всех подобных случаях, говоря о каком-нибудь множестве, приходилось бы добавлять оговорку «если оно существует».

3. Множество и подмножества. Множество А, все элементы которого принадлежат и множеству В, называется подмножеством (частью) множества В. Это отношение между множествами называют включением и обозначают символом ⊂, т.е. А ⊂ В (А включено в В) или В ⊃ А (В включает А). Например, множество конденсаторов электронной цепи является подмножеством всех ее компонентов, множество положительных чисел — это подмножество множества действительных чисел.

Отношение А ⊂ В допускает и тождественность (А = В), т.е. любое множество можно рассматривать как подмножество самого себя (А ⊂ А). Полагают также, что подмножеством любого множество является пустое множество ∅ т.е. ∅ ⊂ А. Одновременное выполнение соотношения А ⊂ В и В ⊂ А возможно только при А = В. И обратно А = В, если А ⊂ В и В ⊂ А. Это может служить определением равенства двух множеств через отношение включения.

Наряду с А ⊂ В, в литературе можно встретить и другое обозначение А ⊆ В. При этом под А ⊂ В понимают такое отношение включение, которое не допускает равенства А и В (строгое включение). Если допускается А = В, то пишут А ⊆ В (нестрогое включение). Мы будем придерживаться принятого ранее обозначения как для строгого, так и для нестрогого включения.

4. Множество подмножеств. Любое непустое множество А имеет, по крайней мере, два различных подмножества: само А и пустое множество ∅. Эти подмножества называются несобственными, а все другие подмножества А называют собственными(эта терминология связана со словами «собственно подмножества», а не со словом «собственность»). Конечные собственные подмножества образуются всевозможными сочетаниями по одному, два, три и т.д. элементов данного множества.

Элементы множества сами могут являться некоторыми множествами. Например, книга из множества книг в шкафу может рассматриваться как множество страниц. Здесь следует обратить внимание на то, что речь идет об элементах множества, а не о подмножествах (никакая совокупность страниц не может рассматриваться как подмножество множества книг).

Множество, элементами которого являются все подмножества множества А, называют множеством подмножеств (множеством-степенью) А и обозначают через 𝓟(А). Так, для трехэлементного множества A ={a, b, c} имеем 𝓟(А) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

- 22 -

В случае конечного множества А, состоящего из n элементов, множество подмножеств 𝓟(А) содержит 2ⁿ элементов. Доказательство основывается на сумме всех коэффициентов разложения бинома Ньютона или на представлении подмножеств n-разрядными двоичными числами, в которых 1 (или 0) соответствует элементам подмножеств.

Следует подчеркнуть различия между отношением принадлежности и отношением включения. Как уже указывалось, множество A может быть своим подмножеством (A ⊂ A), но оно не может входить в состав своих элементов (A ∉ A). Даже в случае одноэлементных подмножеств следует различать множество A={a} и его единственный элемент а. Отношение включения обладает свойством транзитивности: если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C. Отношение принадлежности этим свойством не обладает. Например, множество A={1, {2,3} ,4} в числе своих элементов содержит множество {2, 3}, поэтому можно записать: 2,3 ∈ {2, 3} и {2, 3} ∈ A. Но из этого вовсе не следует, что элементы 2 и 3 содержатся в A (в приведенном примере мы не находим 2 и 3 среди элементов множества A, т. е. 2, 3 ∉ A.

5. Задание множеств.

Множество A = {a₁, a₂, ... a_n} можно задать простым перечислением его элементов. Например, спецификация задает множество деталей изделия, каталог — множество книг в библиотеке. Но этот способ не пригоден для задания бесконечных множеств и даже в случае конечных множеств часто практически нереализуем.

Рассмотрим в качестве примера фасад 16-этажного дома с 38 окнами в каждом этаже. В вечернее время каждое из окон дома может быть освещено или затемнено, т. е. 2⁶⁰⁸ ≈ 10¹⁸³ находиться в двух состояниях. Определенные совокупности освещенных окон можно рассматривать как некоторые образы. Считая все окна (их число равно 38*16=608) различными по их расположению на фасаде, каждый такой образ можно связать с соответствующим подмножеством освещенных окон. Тогда количество всех образов равно количеству элементов множества подмножеств всех окон, т. е. . Полученное число настолько большое, что его трудно даже представить. Оно несравнимо больше числа атомов во всей видимой вселенной, которое равно примерно 10³⁷. Если бы каждый атом превратился во вселенную, то и тогда на один атом приходилось бы 10³⁷ образов 10¹⁸³ = 10³⁷ *10³⁷ * 10³⁷). Поэтому, хотя множество всех образов конечно и любой из них можно легко определить, о задании подобных множеств перечислением их элементов не может быть и речи.