в) бросают три монеты: А - «выпало два герба»; В - «выпало три герба».

- 82 -

9. Исследуйте на несовместность события А и В при бросании игральной кости, если:

а) А - «четыре очка»; В - «четное число очков»;

б) А - «четное число очков»; В - «нечетное число очков».

10. Пять карточек, помеченные цифрами от 1 до 5, тщательно перетасовывают. Какова вероятность того, что:

а) трехзначное число, определяемое номерами трех извлеченных наугад карточек, окажется четным;

б) при случайной раскладке всех карт пять мест с номерами от 1 до 5 ни одна карточка не займет места, отмеченного ее номером;

в) при поочередном выборе всех карточек их номера будут появляться в возрастающим порядке.

11. Из 30 выстрелов по цели отмечено 25 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

Данный текст я (w_cat) набираю руками, опечатки LibreOffice Writer, как положено, выделяет красной волнистой, но если «опечатанное» слово совпадает с существующим в словаре (базе) то опечатку я не замечу и не исправлю, вычислите вероятность такой ошибки :).

Список литературы

Великолепный обзор основных идей и методов современной математики дан в трехтомной монографии «Математика, ее содержание, методы и значение», написанной выдающимися советскими математиками и вышедшей в издательстве АН СССР в 1956 г. под редакцией академиков А.Д. Александрова, А.Н. Колмогорова и М.А Лаврентьева. Эта книга является, пожалуй, лучшим образцом сочетания глубины, строгости и доступности изложения. Можно только пожалеть, что изданная сравнительно небольшим тиражом она стала библиографической редкостью.

Аналогичным по содержанию, но более популярным и кратким является сборник статей видных американских ученых «Математика в современном мире» (М. «Мир», 1967). Обращают на себя внимание прекрасно выполненные иллюстрации, которые помогают уяснить смысл сложных математических понятий. Живо и доступно написана книга Дж. Кемени, Дж. Снелла и Дж. Томпсона «Введение в конечную математику» (М. Изд. иностр. лит., 1963), в которой изложение идей и методов современной математики переплетается с большим количеством примеров из жизни, техники, экономики, биологии. Большое удовольствие может доставить читателю увлекательная и остроумная книга У.У. Сойера «Прелюдия к математике» (М. «Просвещение», 1965), которая аннотирована автором как «рассказ о некоторых любопытных и удивительных областях математики с предварительным анализом математического склада ума и целей математики».

Интересна и полезна для инженеров книга французских математиков Р. Фора, А Кофмана и М. Дени-Папена «Современная математика» (М., «Мир», 1966). По словам акад. А.Н. Колмогорова, под редакцией которого издан перевод этой книги, особенно ценной в ней является «достаточно стройная и в то же время простая система основных понятий». Сами авторы представляют ее как справочник по современной математике. Специально на инженеров рассчитаны книга Т. Кармана и М Био «Математические методы в инженером деле» (М., Гостехиздат, 1946), коллективная работа под ред. Э.Ф. Беккенбаха «Современная математика для инженеров» (М., Изд. иностр. лит., 1958), А. Анго «Математика для электро- и радиоинженеров» (М., «Наука», 1965). Математические теории и методы в этих книгах рассматриваются в тесной связи с конкретными прикладными задачами.

Имеется много фундаментальных монографий, содержание которых выходит за пределы программы высших технических учебных заведений по математике, но весьма полезных для инженеров. Среди них, прежде всего, необходимо назвать вышедший многими изданиями пятитомный «Курс высшей математики» В.И. Смирнова. Следует также обратить внимание на

- 83 -

трехтомное пособие Г. Джеффриса и Б. Свирлс «Методы математической физики» (М., «Мир», 1969/70).

Из общих курсов прикладной математики можно указать: Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис «Элементы прикладной математики» (М., «Наука», 1972); В.А. Иванов, Б.К Чемоданов, В.С. Медведев «Математические основы теории автоматического регулирования» (М., «Высшая школа», 1971); И.А. Большаков, Л.С. Гуткин, Б.Р. Левин, Р.Л. Стратонович «Математические основы современной радиоэлектроники» (М., «Советское радио», 1968); Г.Т. Марков, Е.Н. Васильев «Математические методы прикладной электродинамики» (М., «Советское радио», 1970); Ю.М. Коршунов «Математические основы кибернетики» (М., «Энергия», 1972); В.Г. Лапа «Математические основы кибернетики» (Киев, «Вища школа», 1971); Н. Бейли «Математика в биологии и медицине» (М., «Мир», 1970).

Вопросы математического образования инженеров в современных условиях обсуждаются в сборнике статей видных советских математиков «Математическое образование сегодня» (М., «Знание», 1974).

Среди справочников, пожалуй, наиболее близок к современным потребностям инженера «Справочник по математике для научных работников и инженеров» Г. Корна и Т. Корн (М., «Наука», 1968). Он широко охватывает материал классических и новых разделов математики, являющихся необходимым орудием для инженеров-исследователей. Много внимания уделяется связи рассматриваемых математических вопросов с прикладными задачами. Разумеется, не нуждаются в рекомендации «Справочник по высшей математике» М.Я. Выгодского и «Справочник по математике» И.Н. Бронштейна и К.А, Семендяева, выдержавшие по несколько изданий и широко используемые инженерами и учащимися.

Глава 2

Множества

Элементами множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания.

Н. Н. Лузин

Одной из характерных черт современной математики и ее приложений является господство теоретико-множественной точки зрения. Язык теории множеств, включающий большое число различных понятий и связей между ними, все глубже проникает в техническую литературу. Поэтому инженер должен понимать этот язык и уметь им пользоваться.

Алгебраические операции над множествами и их свойства излагаются с применением кругов Эйлера и диаграмм Венна, а бинарные отношения иллюстрируются на матрицах и графах. Благодаря этому основные понятия теории множеств получают наглядное представление в привычной для инженера графической или табличной форме.

Центральное место в этой главе занимает теория отношений, которая оказалась простым и удобным аппаратом для самых разнообразных задач. На ее основе обобщается понятие функции, применимое не только к числовым множествам, но и к множествам объектов любой природы. Особо выделяются три типа бинарных отношений: эквивалентность, упорядоченность и толерантность, которые наиболее часто встречаются в практике.

Большое значение в математике имеют отношения, называемые законами композиции, которые ставят в соответствие паре каких-либо элементов третий элемент из одного и того же или из различных множеств. Определяя не некотором множестве один или два таких закона и наделяя их некоторыми свойствами, получаем различные алгебраические системы: группы, кольца, поля, тела и т.д. Эти и подобные им абстрактные понятия являются обобщениями самых разнообразных объектов исследования как в самой математике, так и в специальных областях науки и техники. В качестве примеров рассматриваются наиболее интересные с прикладной точки зрения алгебраические системы (группы подстановок, кольцо многочленов, тело кватернионов, поле комплексных чисел и др.).