Действительно, проверяя полученный результат, получаем 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 16 +8+2 = 26.

Дробное число переводится в двоичную систему счисления методом последовательного умножения на два. При этом каждый раз

- 69 -

после запятой двоичного числа записывается 0 или 1 соответственно целой части результата умножения. Последовательное умножение продолжается до тех пор, пока дробная часть не обратится в нуль или пока не получим требуемое количество двоичных знаков после запятой. Например, двоичное представление числа 0,3125 получается следующим образом:

Проверка полученного результата дает: 0·2^-1 + 1·2^-2 + 0·2^-3 + 1·2^-4 = 1/4 +1/16 = 5/16 = 0,3125.

Если число является смешанным, т.е. его целая и дробная части отличны от нуля, то оно переводится в двоичную систему раздельно: целая часть- последовательным делением, а дробная — последовательным умножением.

Арифметические операции над числами сводятся к операциям сложения и умножения одноразрядных чисел. В двоичной системе счисления умножение задается таблицей конъюнкции: 0·0=0; 1·0=0; 0·1=0 и 1·1=1. Сложение выполняется по правилу: 0 + 0 = 0; 1+0=1; 0+1=1 и 1+1=10 (10 — это двоичное число, соответствующее десятичному числу 2). Операции над двоичными числами выполняются по правилам, аналогичными для десятичных чисел, но эти правила предельно упрощаются (особенно для умножения). Например, десятичные операции 41 + 27 = 68 и 41·5= 205 выглядят следующим образом:

- 70 -

Как видно, умножение двоичных чисел сводится к сложению чисел, образованных сдвигом влево первого сомножителя. Поразрядное сложение осуществляется в соответствии с таблицей

причем в случае x₁ = x₂ = 1 образуется единица переноса в старший разряд. Операция, задаваемая этой таблицей, называется сложением по модулю 2. Если при сложении перенос не учитывается, то эта операция вместе с операцией умножения определяет на множестве двоичных чисел арифметику по модулю 2.

Задачи и упражнения

1. Подстановкой в формулу a ∨ b переменных запишите новые формулы и упростите их, если это возможно: а) a = x̅y, b = z. б) a = xy, b = xy̅; в) a = x, b = xy; г) a = x, b = x̅y; д) a = xy, b = c ∨ d, c = xz, d = yz̅.

2. Запишите таблицы соответствия для следующих формул: а) xx̅; б) xy ∨ x̅; в) (p ∨ q)(p̅ ∨ q̅); г) x̅∨̅y̅.

3. Проверьте с помощью таблиц соответствия следующие тождества: а) x̅∨̅y̅ = x̅ y̅; б) x ( x ∨ y) = x; в) x ∨ x̅ y = x ∨ y.

4. Постройте переключательные схемы для обеих частей приведенных ниже тождеств и убедитесь в том, что эти схемы функционируют одинаково:

а) xy∨x̅y∨x̅y̅=y ∨ x̅y̅

б) (x∨y)(x∨z) = x ∨ yz;

в) xyz∨xyz̅∨xy̅ = x.

5. Упростите следующие формулы:

а) x̅yz∨xy̅z̅∨xyz̅;

б) xy∨z∨x̅y̅∨̅z̅(zv∨x);

в) xy̅z̅∨xyz̅∨x̅yz∨xyz;

г) (x∨y)(x̅y̅∨z)∨z̅∨(x∨y)(u∨v).

6. Комитет, состоящий из трех членов, принимает решения большинством голосов. Постройте такую схему, чтобы голосование каждого члена комитета производилось нажатием своей кнопки и чтобы лампочка загоралась, если и только если решение принято. Какое наименьшее количество ключей необходимо?

7. Постройте схему освещения так, чтобы лампочка могла независимо включаться и выключаться двумя выключателями.

- 71 -

8. Преобразуйте формулы к такому виду, чтобы операция отрицания применялась только к логическим переменным:

9. Убедитесь с помощью таблиц соответствия в справедливости выражений для импликации и эквиваленции:

а) x₁→ x₂ = x̅₁∨x₂;

б) x₁ ∼ x₂ = x₁x₂∨ x̅₁x̅₂ = (x₁∨x̅₂)(x̅₁∨x₂);

в) x₁ ∼ x₂ = ( x₁→ x₂ )( x₂→ x₁ ).

10. Постройте переключательные схемы для импликации и эквиваленции в соответствии с тождествами, приведенными в задаче 9.

11. Запишите формулу, соответствующую переключательной схеме рис. 25. Упростите эту формулу и постройте более простую схему.

Рис. 25. Граф переключательной схемы к задаче 11.

12. Постройте переключательные схемы по формулам:

а)(x₁ ∨ x₂x̅₃)(x₁x₂ ∨ x₃x₄)

б) (x̅₁ (x₂ ∨ x̅₃) ∨ x̅₄)x₁.

13. Из простых высказываний x₁ - «испытания проведены» и x₂ - «программа выполнена» образуйте сложные высказывания по формулам а) x₁∨x̅₂; б) x₁x₂; в) x₁→ x₂ ; г) x₁ ∼ x₂.

14. Запишите формулы для следующих высказываний, обозначив буквами входящие в них простые высказывания:

а) Давление падает и система не работает.

б) Вычисления выполнены точно или конструкция несовершенна.

в) Проект разработал Андрей или Петр, а эксперимента выполнил Иван.

г) Если будет хорошая погода, мы отправимся на стадион или пойдем за грибами.

д) Программа может быть выполнена, если и только если материалы поступят своевременно.

е) Если я поеду на автобусе, то опоздаю на работу или я воспользуюсь такси.

ж) Андрей помогает Петру или Петр помогает Андрею, или они помогают друг другу.

15. Запишите формулу, соответствующую высказыванию: «Программа будет выполнена тогда и только тогда, когда закончатся испытания и показатели будут удовлетворительны; если программа не будет выполнена, сотрудники не получат премию или будут пересмотрены технические условия».

16. Даны простые высказывания: x₁ - «идет дождь), x₂ - «очень жарко».

а) Запишите формулу сложного высказывания «Неверно, что идет дождь и очень жарко».

б) Преобразуйте формулу по закону де Моргана и составьте соответствующее высказывание.

в) Убедитесь в тожественности исходного и преобразованного высказываний.

17. Путешественник остановился у развилки дорог, ведущих в пункты А и В, и ему нужно выяснить, в какой именно пункт ведет каждая из дорог. Находившиеся у развилки два человека заявили, что они могут ответить только на один вопрос и что один из них всегда правдив, а другой лжец. Какой вопрос должен задать путешественник, чтобы в любом случае ответ на него содержал необходимою информацию?

а) Решите задачу путем непосредственных рассуждений без применения алгебры логики.

- 72 -

б) Представьте ситуацию в виде сложного высказывания, составленного из простых.

в) Запишите соответствующую формулу и таблицу соответствия.

г) По таблице соответствия сформулируйте искомый вопрос.

18. Высказывание является логически истинным, если соответствующая ему формула тождественно равна единице, и логически ложным, если формула равна нулю. Определите с помощью таблиц соответствия, каким высказываниям соответствуют приведенные ниже формулы (истинным, ложным или ни тем и не другим): а) p ∼ p; б) p → p̅; в)(p∨q) ∼ pq; г)(p→q̅) → (q → p̅); д)(p→ q)→ p; е) ((p→ q)→ p)→ p; ж) p̅∨̅q̅ ∼ pq .