А суть проекта заключалась в необходимости построения годографа. Этот годограф представляет собой некую кривую на плоскости, строящуюся по координатам, когда каждая точка его вычисляется как дробь, в числителе и знаменателе которой стоит по полиному, т. е. степенному ряду, состоящему из двадцати или более членов каждый. И каждый такой член надо вычислить. Это значит, что надо взять какое-нибудь число, возвести его в степень и умножить на коэффициент перед ним. Это надо сделать столько раз, сколько членов во всех четырех многочленах, стоящих в числителе и знаменателе каждой дроби, то есть всего восемьдесят или даже больше раз. А затем каждый многочлен просуммировать, полученные суммы поделить друг на друга и в результате всех этих муторных операций получить одну точку годографа и поставить ее на графике. А точек этих может быть любое количество, при этом есть участки, где их надо ставить часто, потому что суть проекта заключается все же не в самом годографе, а в том, охватит ли он на этом листе точку с координатой -1 или не охватит. Если не охватит, то радуйся, твоя система устойчива. А если охватит — дело дрянь, потому что система неустойчива, и надо вводить всякие обратные связи. А потом считать все сначала. В общем, нет жизни!
И когда автору в результате этих размышлений в сознание уже начала стучаться мысль о том, что не все же имеют высшее образование, ну и что, живут ведь, он вдруг понял, что логарифм числа, возведенного в степень, совершенно точно равен этой степени, умноженной на логарифм этого же числа безо всякой степени. И, стало быть, в логарифмических координатах это будет прямая линия. И ничего не надо вычислять. Взял одну точку для числа, равного единице, тут логарифм равен нулю. Взял вторую точку для числа, равного 10, тут логарифм равен единице. Умножил ноль на степень, это все равно ноль. Умножил единицу на степень, это и есть степень. Прибавил к ним по логарифму коэффициента, стоящего перед членом, а дальше посредством карандаша и все той же логарифмической линейки провел прямую линию. А когда все прямые линии, изображающие все члены многочлена, нарисованы на общем графике, то сразу видно, что всю левую часть вычислять вообще не надо, потому что постоянный член, всегда имеющийся в многочлене, больше всех остальных и всеми остальными членами можно пренебречь. Правую часть вычислять тоже не надо, ибо здесь больше всех самый старший член с наиболее высокой степенью. А все, что лежит между этими областями, надо просуммировать. Для этого пришлось срочно вывести формулы логарифмического суммирования, быстренько вычислить значения вспомогательных функций, на это ушел целый день, и в назначенный срок, раньше других, которые все еще копались со своими таблицами, проект был сдан. Вся группа была шокирована, а преподаватель сказал: «Бывает же такое!» Но поставил пять за оригинальность.
Поэтому моя любовь к логарифмам имеет, можно сказать, научное обоснование.
Эта история повторилась, когда пришлось сдавать подобный проект на факультете усовершенствования инженеров. Сдав проект по той же схеме, я стал ждать горячего одобрения. Однако получил двойку. Пришлось объясняться. Двойка тут же была исправлена на пятерку, и я получил рекомендацию написать статью в журнал «Автоматика и телемеханика». Статья была написана и опубликована. Но бочка меда не бывает без ложки дегтя: преподаватель, ставя мне пятерку, сказал, что эти вспомогательные функции лет за 150 до меня вывел великий математик Карл Гаусс и что поэтому надо бы сослаться на его работы. Правда, многочленов он подобным образом не суммировал — или не догадывался, или они ему не были нужны, но функции создал, и с тех пор существуют целые таблицы этих функций. Надо сослаться, а то — плагиат. Вот ведь какой подвох может учинить классик!
Пришлось сослаться.
В дальнейшем я неоднократно пытался всучить кому-нибудь этот замечательный метод, благо в нашем институте, где я работаю, пилотажники сидят в соседней лаборатории, а они только и занимаются системами автоматического регулирования. Но пилотажники попались какие-то консервативные, годографов вообще не строят и как-то обходятся без них. Хотя автопилоты у них работают исправно, и автоматическую посадку они давно освоили на многих самолетах.
Так и пропал бы этот великолепный метод, если бы однажды не понадобилось заняться прогнозом развития систем проводных связей.
Дело в том, что вариантов сопряжения различных электронных устройств существует великое множество. Если все системы разработаны независимо друг от друга, то каждый Главный конструктор сделает в своей системе входы и выходы так, что никакой другой Главный конструктор ни за что об этом не догадается. И когда их системы сойдутся, наконец, на самолете, то тут и выяснится оригинальность принятых решений: системы состыковать нельзя. Поэтому нами еще в шестидесятые годы была предпринята попытка навести в этом порядок и создать систему связей со стандартными сигналами. Но выяснилось, что и систем связей тоже может быть множество, даже если в их основе лежат какие-либо стандартизованные сигналы. Потому что эти сигналы могут быть разные — это могут быть напряжения или частоты, коды параллельные или последовательные, это могут быть временные интервалы и мало ли что еще. А ведь не вредно было бы знать, на каких именно принципах надо строить систему связей сегодня, а к чему готовиться завтра. И послезавтра тоже. Короче говоря, надо знать этапы развития связей.
Вот тут-то и пригодился логарифмический способ суммирования многочленов, в котором используются вспомогательные функции, вычисленные специально для прогнозирования этапов развития авиационных систем связей великим немецким математиком конца XVIII и первой половины XIX века Карлом Фридрихом Гауссом.
Мы выяснили, что каждый элемент, используемый в какой-нибудь системе связей, по массе и по интенсивности потоков отказов развивается по экспоненциальному закону. Ну, в самом деле. Над каждым узлом трудится свой конструктор. Вчера он этот узел спроектировал, и весил этот узел, скажем, килограмм. А сегодня за счет улучшения элементной базы, технологии и даже своего искусства он его спроектировал в 0,5 кг. А завтра еще в два раза легче. И так далее. На самом деле, конечно, между «вчера», «сегодня» и «завтра» проходит лет 5–8. Но, так или иначе, статистика показала, что все элементы при выполнении одних и тех же функций уменьшают свой вес в одной и той же пропорции за один и тот же отрезок времени. А это и есть экспонента.
Отклонения от этой экспоненты обычно невелики, но постоянная времени для каждого элемента своя. Чисто цифровые устройства, например, регистры уменьшают свой вес за 10 лет в 40 раз, аналоговые — в 5–6 раз, электромеханические — в 1,5–2 раза, а провода всего лишь на 20–30 %. И, следовательно, если на графике по горизонтали отложить время (годы), а по вертикали логарифм массы (математики, не придирайтесь! Массу отнесем к килограмму, получим безразмерную величину и возьмем логарифм на полном законном основании), то кривая развития каждого элемента окажется прямой линией, наклон которой определится ее постоянной времени, характерной именно для этого элемента. А начальное положение прямой определится любой точкой, для которой известна масса элемента в определенный момент времени.
Если для некоторой системы связей нужно 100 таких элементов, то вся прямая поднимется на две единицы, а если 1000 — то на три. И поскольку для каждой системы связей нужен совершенно определенный набор элементов, то, просуммировав все прямые методом Гаусса, мы теперь в этих координатах получим плавную кривую, характеризующую развитие именно этой системы связей. А для другого варианта системы связей кривая развития будет другой, а для третьего — третьей, поскольку каждой из них нужен свой набор элементов. И когда эти кривые будут наложены друг на друга, то все они пересекутся друг с другом. И некоторые из них окажутся ниже других на определенном отрезке времени. А это значит, что для данного отрезка времени эта система связей и является самой лучшей, пока не пересечется с другой кривой. Тогда эта другая система связей станет самой лучшей, потом третья и так далее. А те варианты построения, которые не попали в нижнюю часть, — хуже, это значит, что над ними вообще не надо работать.
