Восхождение на двухкилометровую вершину вовсе не то же самое, что восхождение на высоту 4000 метров. С Риманом мы, безусловно, находимся в четырехкилометровой категории.

Георг Фридрих Бернхард Риман родился в деревне Брезеленц, в земле Нижняя Саксония. Возможно, из-за своей крайней застенчивости и почти патологического страха перед публичными выступлениями он не пошел по стопам отца, лютеранского пастора. Фридрих Константин Шмальфусс, директор школы, где учился молодой Риман, разрешил мальчику взять из своей личной коллекции книгу Лежандра по теории чисел — математический трактат чрезвычайной сложности. Риман за неделю прочитал ее от корки до корки и, возвращая книгу, сказал, что нашел ее очень интересной. Он не лгал. Годы спустя Риман возьмет из этой книги то, что ему нужно для создания своей теории простых чисел, сформулировав тем самым одну из самых известных гипотез в истории математики.

В возрасте 19 лет Риман прослушал несколько лекций математика Морица Штерна в Гёттингенском университете. Именно там он впервые познакомился с работами Гаусса. Через год он перешел в Берлинский университет, где преподавали Петер Густав Лежён-Дирихле, Карл Якоби, Якоб Штайнер и Фердинанд Эйзенштейн. Тесное сотрудничество Римана с Эйзенштейном привело к появлению одной из наиболее важных математических теорий XIX в. — теории функций комплексного переменного. Она стала одним из основных инструментов, которые позволили Риману сформулировать свою гипотезу о простых числах.

Бернхард Риман

* * *

* * *

Дзета-функция

Как говорилось в третьей главе, Эйлер дал определение дзета-функции с помощью гармонического ряда:

Швейцарский математик уже знал, что данная сумма бесконечна при х, меньших или равных 1. Он также смог вычислить значения для х = 2 и х = 4:

ζ(2) = π²/6; ζ(4) = π²/90

Также Эйлер установил связь между этой функцией и простыми числами (так называемое «эйлерово произведение»). Эта связь помогла ему и другим математикам доказать, что множество простых чисел бесконечно, что уже было показано Евклидом с помощью более элементарного метода.

С другой стороны, Гаусс сформулировал гипотезу, что при больших значениях х

где π(х) — число простых чисел, меньших, чем х.

Риман поставил перед собой задачу исследовать гипотезу Гаусса с помощью дзета-функции Эйлера и решил, что наиболее перспективным подходом будет продолжить эту функцию на область простых чисел. Для этого он разработал метод аналитического продолжения. Строго говоря, аналитическое продолжение — более правильное название для дзета-функции Римана:

Вторая часть выражения, бесконечное произведение, распространяется на все простые числа р, используя эйлерово произведение, и таким образом определяет связь дзета-функции с простыми числами. Напомним, что это произведение было получено как прямое следствие основной теоремы арифметики.

Как уже говорилось, Гаусс ввел функции комплексного переменного, представляемые в трехмерном пространстве. Риман сделал следующий шаг и определил то, что позже станет называться комплексными функциями комплексного переменного. Проблема заключалась в том, что они требуют четырехмерного пространства и поэтому не могут быть наглядно представлены. Используя особые приемы, похожие на описанные в предыдущей главе, Риман получил трехмерное изображение нулей дзета-функции: поверхность, состоящую из регулярно повторяющихся холмов и впадин.

У этой функции есть два типа «нулей», то есть таких значений аргумента, которые при подстановке в функцию обращают ее в ноль. Первый тип — четные отрицательных числа: х = —2, х = —4, х = —6 …, называемые «тривиальными» нулями.

Другие нули совсем не тривиальные, и вычислить их очень трудно. Они образуют бесконечное множество и находятся на так называемой «критической полосе» комплексных чисел, действительная часть которых больше нуля, но меньше единицы (0 <= Re(х) <= 1). Эта полоса наиболее тесно связана с простыми числами. В 1896 г. именно этим вопросом занимались два математика, Жак Адамар и Шарль Жан Ла Валле Пуссен, независимо друг от друга доказавшие гипотезу Гаусса о распределении простых чисел.

В одной из записей и без каких-либо доказательств Риман сформулировал утверждение, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют вид 1/2 + iy, то есть они лежат на прямой х = 1/2, которая проходит сквозь дзета-функцию.

«Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную 1/2».

Если эта гипотеза верна, то все простые числа распределены регулярно, точнее, насколько это возможно регулярно. Поясним это с помощью аналогии: представим себе функцию, характеризующую звуки скрипичного концерта — ряд синусоидальных кривых. Для простоты предположим, что играет только одна скрипка. Вместе с рядом четких подъемов и впадин мы увидим другие неопределенные формы, которые несколько нарушают гармонию кривой линии. В акустических терминах это называется «белый шум», возможными причинами которого являются статические разряды, фоновые звуки и так далее. Таким образом, гипотеза Римана утверждает, что любые отклонения в распределении простых чисел связаны с математическим «белым шумом». Это означает, что распределение простых чисел основано на определенном правиле, а не на чистой случайности. Таким образом Риману удалось навести некоторый порядок в разношерстной компании простых чисел.

* * *

Луи де Бранж де Бурсия.

* * *

В 1914 г. британские математики Годфри Харолд Харди (1877–1947) и Джон Идензор Литлвуд (1885–1977) доказали, что на прямой линии существует бесконечное число нулей. Это не доказывает гипотезу Римана, зато подкрепляет мнение специалистов о ее правильности. Многие думают, что если на «критической прямой» находится бесконечное множество нулей, то все нули уже в нем учтены, но это лишь показывает типичную ошибку в восприятии бесконечности, концепция которой полна парадоксов, потому что может также существовать бесконечное количество нулей, которые не лежат на этой прямой. На сегодняшний день вычислено около десяти миллионов «нетривиальных» нулей, расположенных на этой линии.