Ферма не смог определить, является ли это число простым. Но Эйлеру в 1732 г. удалось представить это число в виде произведения двух множителей:

4294967297 = 641 х 6700417.

Тем самым Эйлер показал, что гипотезы Ферма могут быть ложными. Нечто подобное произошло впервые. И хотя гипотеза оказалась ошибочной, числа Ферма продолжают играть важную роль — не только потому, что благодаря им возникли новые идеи и гипотезы, но и потому, что они оказались полезными для выявления простых чисел.

В настоящее время известно, что только первые пять чисел Ферма являются простыми. Но это вовсе не означает, что других простых чисел Ферма не существует: на самом деле их может быть бесконечное множество. Разложение на множители было проделано лишь для чисел Ферма с индексом до n = 11. Представление числа в виде произведения простых множителей является нелегкой задачей. Как мы позже покажем, эта трудность лежит в основе одного из самых популярных методов шифрования, используемых сегодня.

Не существует ни одной области классической математики, будь то дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, аналитическая и дифференциальная геометрия, теория чисел или теория рядов, в которой бы не появлялось имя швейцарского математика и физика Леонарда Эйлера (1707–1783). Он был одним из самых плодовитых математиков своего времени. После его смерти в Санкт-Петербурге его сочинения продолжают вызывать восхищение и регулярно переиздаются Санкт-Петербургской Академией наук. Швейцарская академия наук планирует опубликовать полное собрание его работ, которое составит около 90 томов.

Банкнота 10 швейцарских франков 1997 г. выпуска с портретом Эйлера и изображениями гидравлической турбины, солнечной системы и света, проходящего через линзу. Все это иллюстрирует вклад Эйлера в математику.

Эйлер всегда проявлял особый интерес к простым числам. Он составил таблицу всех простых чисел от 1 до 100 000 и нашел формулы, которые позволяли ему получать невероятные количества таких чисел. Одной из наиболее интересных является следующая формула:

х² + х + q,

которая генерирует простые числа для любых значений х, больших 0 и меньших q — 2.

Эйлер нашел все такие простые числа для q = 2, 3, 5, 7, 11 и 17. В то время математика была экспериментальной, ее целью было получение практических результатов, поэтому строгие доказательства часто отсутствовали. Однако в отличие от Ферма Эйлер не скрывал своей работы. Если у него было доказательство, он публиковал его, а если факт приводился без доказательства, значит, оно не было найдено.

Работы Эйлера привели к важным изменениям в мире математики, вызвав медленный, но неумолимый сдвиг научной мысли. Среди многочисленных достижений Эйлера есть три, которые оказали решающее влияние на дальнейшие исследования в теории простых чисел: понятия функции, бесконечных сумм и мнимых величин.

Позже мы еще вернемся к ним.

Функции

Эйлер заложил основы того, что в последующие века будет называться математическим анализом. Именно он ввел обозначение функции, f(х), которое используется и в настоящее время. Функция работает как устройство, которое преобразует числа в другие числа в соответствии с установленным правилом. (Мы имеем в виду действительные функции действительного переменного.) Например, если правило гласит, что к каждому числу нужно прибавить определенное число, например, 3, то функция записывается следующим образом:

f(х) = x + 3.

Теперь функцию можно применить к любым значениям переменной:

f(1) = 1 + 3 = 4;

f(2) = 2 + 3 = 5;

f(24) = 24 + 3 = 27;

f(0,32) = 0,32 + 3 = 3,32.

Действительные функции действительного переменного ставят в соответствие каждому действительному числу другое действительное число. Например, функция f(x) = 2х + 1 каждое значение х увеличивает в два раза и прибавляет единицу. Составим таблицу значений этой функции:

Эта таблица позволяет построить график функции по вышеуказанным координатам точек:

Это очень простой график, он представляет из себя прямую линию, построить которую можно всего по двум точкам. С другой стороны, функция вида f(х) = х² будет иметь следующую таблицу значений:

И график этой функции уже не так легко построить:

Фактически, чем больше у нас точек, тем более точный график можно построить, но если выражение функции не является линейным, то есть если переменная х возводится в степень, большую единицы, графиком функции является кривая линия.

В некоторых случаях эта кривая известна, а в других она оказывается очень непредсказуемой и ее нельзя построить вручную. Одним из величайших достижений Эйлера является представление сложных функций в простых терминах.

Бесконечные суммы

Еще Эйлер для обозначения суммы, или «суммирования», ввел специальный символ, который используется и в современной математике. Это знак Σ — заглавная буква «сигма» греческого алфавита, а также первая буква слова «сумма».

Выражение суммирования записывается следующим образом:

Σⁱ⁼⁵_j=1i,

где есть переменная, в данном случае i, и индексы, показывающие, как эта переменная изменяется. В данном примере i изменяется от 1 до 5. Таким образом:

Σⁱ⁼⁵_j=1 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5;

Σⁱ⁼³_j=1(n + 1) = (1 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1);

Σⁱ⁼⁴_j=1 n² = 1² + 2² + 3² + 4².

Обычно запись выражения упрощают, указывая в качестве верхнего индекса лишь последнее значение переменной:

Σ⁵_j=1 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

Это означает, что i меняется от 1 до 5.

Если верхний предел не является числом, то используется символ бесконечности, означающий, что сумма бесконечна. Например:

Хотя это может показаться странным, но существуют бесконечные суммы, результат которых является конечным числом. Ряды, имеющие такую сумму, называются сходящимися. Например, ряд

имеет конечную сумму, приблизительно равную 2. Так как члены ряда становятся все меньше и меньше, в какой-то момент каждый следующий член будет настолько мал, что его добавление ничего не изменит, и итоговая сумма будет конечным числом. Безусловно, это не совсем точное объяснение. Можно предположить, что ряд типа