Обозначим игроков А и В. А выиграл две партии. Рассуждения будут выглядеть так. Допустим, что игроки продолжают игру и вероятность победы в партии составляет 50 % для каждого из них. Возможные варианты окончания игры таковы.
1. Следующую партию выигрывает А. Так как счет станет равным 3:1, игра закончится, победу одержит А, который заберет банк. Вероятность этого исхода равна 0,5.
2. Следующую партию выигрывает В. Счет станет равным 2:2, и игра продолжится. Далее выигрывает А, счет становится равным 3:2 в пользу А, и игра завершается. Вероятность этого исхода равна 0,5·0,5 = 0,25 (выигрывает В, затем выигрывает А).
3. Следующую партию выигрывает В, затем снова выигрывает В. Игра завершается со счетом 2:3 в пользу В. Вероятность этого исхода равна 0,5·0,5 = 0,25.
Подведем итог. Если игра продолжается, то вероятность выигрыша А будет равна 0,5 + 0,25 = 0,75, вероятность выигрыша В будет равна 0,25. В трех случаях из четырех побеждает А, следовательно, будет справедливо, если ему достанется три четверти банка.
* * *
Вероятность и ее законы
В соответствии с идеями, которые высказал еще Галилей, если существует n возможных наблюдений, имеющих одинаковую вероятность, и событие А происходит в k из этих наблюдений, то вероятность события А равна:
Иными словами,
Например, если в мешке лежит 5 шаров, 3 из которых окрашены в синий цвет, а 2 — в черный, то вероятность вытащить синий шар равна 3/3. Проще не бывает.
В некоторых случаях теоретическую вероятность можно вычислить, используя симметрию объекта, от которого зависит результат, как, например, при броске монеты или игрального кубика. Другой подход заключается в том, что вероятность рассматривается как количество наблюдений, при которых произошло событие, при бесконечном увеличении числа наблюдений. Так, чтобы узнать, какова вероятность того, что при броске монеты выпадет решка, нужно бросить монету очень много раз и посмотреть, к какому значению стремится полученное соотношение исходов. Это же верно и в случае с игральными костями. Когда мы говорим, что вероятность выпадения определенного числа очков равна 1/6, мы имеем в виду идеальную игральную кость. Реальная игральная кость может отличаться от идеальной.
Некоторые исследователи бросали монету или игральную кость множество раз и записывали полученные результаты. Одним из них был английский математик Джон Керрич, который отбывал тюремное заключение в Дании во время Второй мировой войны. Находясь в тюрьме, он бросил монету 10000 раз, при этом решка выпала 3067 раз, орел — 4933.
Соотношение числа решек к числу орлов колебалось так, как показано на следующем графике, на котором приведены не реальные данные, полученные Керричем, а результаты моделирования. По мере роста числа бросков колебания уменьшаются, и разумно предполагать, что соотношение числа исходов стремится к постоянному числу при бесконечно большом числе бросков. Это значение и будет вероятностью выпадения решки при броске этой монеты.
Изменение соотношения числа решек к числу орлов при броске монеты 10 000 раз (результаты получены с помощью моделирования).
Подобные исследования выполнили Жорж-Луи Леклерк де Бюффон, французский ученый XVIII века, который бросил монету 4000 раз (решка выпала 2048 раз), и Карл Пирсон, один из отцов современной статистики, который бросил монету 24000 раз (самостоятельно или с помощью ассистентов), из которых решка выпала 12 012 раз.
Жорж-Луи Леклерк де Бюффон. Портрет кисти Франсуа-Юбера Друз.
Наиболее известный опыт с игральными костями провел в 1850 году швейцарский астроном Рудольф Вольф, который бросил два игральных кубика (один белого, другой красного цвета) целых 20000 раз.
Полученные им результаты приведены в таблице на следующей странице.
Результаты, полученные при бросках монеты, согласуются с предположением о ее сбалансированности (вероятность выпадения решки равна 0,5), однако результаты экспериментов, проведенных с игральными костями, достаточно далеки от теоретических значений. При броске обоих кубиков, и белого, и красного, 3 и 4 очка выпадали заметно реже остальных. Представим результаты эксперимента графически, чтобы яснее увидеть эти расхождения (К = красный кубик, Б = белый кубик). В главе 3 мы поговорим о проверке статистических гипотез и обсудим, допустимо ли в этом случае предполагать, что кубики несбалансированы.
Результаты, полученные при броске красного (К) и белого (Б) кубиков 20 000 раз.
Правило «или»
Вероятность того, что произойдет событие А или другое событие В, если оба они не могут произойти одновременно, равна сумме вероятностей этих событий. Например, вероятность вытащить туза, короля, даму или валета из колоды в 52 карты (без джокеров) равна:
вероятность того, что вытащенная карта — туз: P(A) = 4/52
вероятность того, что вытащенная карта — король, дама или валет: Р(В) = 12/52
вероятность того, что вытащенная карта — туз, король, дама или валет:
Р(А или В) = Р(A) + Р(В) = (4/52) + (12/52) = 16/52
Правило «и»
Вероятность того, что произойдет событие А и другое событие В, если они являются независимыми, то есть если одно событие никак не влияет на другое, равна произведению вероятностей этих событий. Например, вероятность того, что при двух бросках игральной кости в первый раз выпадет 3 очка, а во второй 4, равна:
вероятность выпадения 3 очков: Р(А) = 1/6;
вероятность выпадения 4 очков: Р(В) = 1/6;
вероятность того, что при первом броске выпадет 3 очка, а при втором 4:
Р(А и В) = (1/6)·(1/6) = 1/36
Подсчет исходов
Подсчет благоприятных или всех возможных исходов обычно является самой трудоемкой частью исследования, хотя в некоторых ситуациях подсчеты можно упростить с помощью простых рассуждений или проведя аналогию с похожими ситуациями.
Например, пусть нам нужно попасть из пункта А в пункт С, пройдя через В. Пусть из А в В ведут три дороги, а из В в С — две дороги. Сколькими способами можно пройти из А в С? Для каждого из трех возможных путей из А в В существует два пути из В в С. Следовательно, попасть из А в С можно шестью различными способами.
