«Cubum autem in duos cubos, aut quadrate-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».
Что в переводе означает:
«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
Другими словами, Ферма утверждал, что уравнение хn + уn = zn не имеет рациональных решений при х, у, z, отличных от нуля, и n > 2, и оправдывал отсутствие пояснений тем, что найденное им чудесное доказательство не поместится на полях этой страницы. Это напоминает нам пометку к задаче 29 книги IV. Разумеется, это доказательство никогда не увидело свет.
Этот и другие комментарии Ферма не перестают удивлять нас. С одной стороны, кажется, что Ферма никогда не имел намерений опубликовать их. Поэтому от него не следует ожидать каких-либо подробных доказательств. Они больше похожи на личные заметки, которые были нужны, чтобы затем можно было вспомнить ход рассуждений и заняться углубленным изучением темы. Но, с другой стороны, они написаны так, как будто обращены к читателю. Иначе зачем нужно было объяснять самому себе, что чудесное доказательство не поместится на полях страницы или что он не приводит доказательство, так как позднее надеется опубликовать отдельную большую книгу по этой теме? По-видимому, эти пометки действительно были частью его личного дневника, но в то же время Ферма хотел подготовить издание «Арифметики» со своими комментариями.
Вклад Ферма
Как бы то ни было, комментарий не пропал напрасно. Ферма много раз возвращался к нему и действительно хотел привести в порядок и записать свое «чудесное доказательство». Первое, что понял Ферма: из любого рационального решения можно получить целое решение путем умножения на наименьшее общее кратное знаменателей.
Следовательно, достаточно показать, что уравнение не допускает целых решений. С другой стороны, нетрудно видеть, что достаточно доказать лишь случаи для n = р, где р — простое, и для n = 4. Все остальные случаи будут доказаны автоматически. Если n = рm, то уравнение хn + уn = zn будет иметь вид хmр + уmр = zmp, откуда получим (хm)р + (уm)р = (zm)p. Если для показателя степени р решения отсутствуют, то они также отсутствуют для показателей степени, кратных р. Аналогично понятно, что если решения отсутствуют для n = 4, то их также не будет для показателей степени, кратных 4. Поэтому Ферма сосредоточил внимание на том, чтобы доказать, что его уравнение не имеет целых решений для n = р, где р — простое, и для n = 4.
Страница книги II «Арифметики» Диофанта издания 1670 года. На этой странице приведена задача 8 и комментарий Ферма.
По-видимому, это указывает на то, что ему действительно удалось доказать частные случаи для n = 3 и n = 4. Доказательство для n = 3 не сохранилось, но Ферма ссылается на него в некоторых письмах. Доказательство для n = 4 сохранилось, и его можно назвать поистине мудрым. В нем впервые представлен метод бесконечного спуска: доказывается, что если существуют три значения х, у, z натуральные и отличные от нуля, которые удовлетворяют уравнению х4 + у4 = z4, то можно найти три других, меньших натуральных числа, отличных от нуля, х', у', z', которые также будут удовлетворять этому уравнению. Продолжая подобные рассуждения, мы придем к тому, что всякий раз будем получать всё меньшие и меньшие решения, при этом они будут натуральными и отличными от нуля. Но это приводит к противоречию: натуральные числа не могут быть бесконечно малыми. Следовательно, таких решений не существует.
* * *
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ФЕРМА ДЛЯ СТЕПЕНИ 3
Хотя уравнение х3 + у3 = z3 не имеет целых решений, отличных от нуля, они «почти» есть, так как некоторые значения х, у, z «почти» удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно видеть, что 53 + 63 = 73 — 2 всего на две единицы отличается от равенства, приведенного Ферма. Еще более удивительный случай: 63 + 83 = 93 — 1. Кажется невероятным, что мы подобрались так близко к решению, но тем не менее не существует целых чисел, которые бы удовлетворяли уравнению!
Что произойдет, если мы добавим новый член в уравнение Ферма? Удивительно, но в этом случае оно будет иметь целые решения, отличные от нуля! Так, 33 + 43 + 53 = 63, 73 + 143 + 173 = 203.
В одном из эпизодов сериала «Симпсоны» можно увидеть равенство 178212 + 184112 = 192212.
Неужели Лизе Симпсон удалось решить загадку Ферма? После более тщательного анализа становится понятно, что эти числа «почти» являются решением, так как равенство выполняется с точностью до девятого знака. В другом эпизоде приводится еще более точное решение. В серии «Волшебник с вечнозеленой террасы» упоминается равенство 398712 + 436512 = 447212 — еще одно «почти» решение, левая и правая части которого совпадают с точностью до десятого знака, и, кроме этого, цифры первых разрядов также совпадают. Обнаружить эту неточность с помощью обычного восьмиразрядного калькулятора невозможно.
* * *
Ферма полагал, что найденный им метод бесконечного спуска является общим методом, который можно использовать в доказательствах любых теорем теории чисел, подобно тому как Декарт считал, что все задачи в природе можно решить с помощью аналитической геометрии. Но реальность, как всегда, оказалась шире подобных представлений. Ее многообразие нельзя охватить каким-то одним методом, сколь мощным бы он ни был. Всегда будут находиться исключения, которые будут бросать вызов человеческому разуму, и человеку нужно будет постоянно превосходить самого себя, чтобы достигнуть новых и новых высот. Именно это произошло с последней теоремой Ферма.
С помощью метода бесконечного спуска Ферма нашел доказательство для n = 3, но, возможно, он понял, что доказать теорему аналогичным способом для высших степеней не удастся. Но даже несмотря на это, вклад Ферма остается поразительным — доказав теорему для n = 4, он создал новый математический метод, оказавшийся удивительно многогранным.
Кроме этого, он доказал свою теорему для половины всех возможных показателей, что уже немало. Тем не менее, вопрос о доказательстве теоремы для всех остальных случаев оставался открытым. С тех пор на него пытались ответить самые выдающиеся математики, но безуспешно.
Труды Ферма были опубликованы после его смерти. На рисунке — титульный лист одной из книг Ферма, изданной в XIX веке.
Гений, который не публиковал своих работ
