После того как мы получили 12 нот, упорядочив квинты, нетрудно вычислить частоты всех нот, лежащих в пределах одной октавы, путем сдвига на одну или несколько октав.

Подсчеты

Определим частоту каждой ноты с помощью цепочки квинт и сдвига на одну или несколько октав, то есть путем деления и умножения частоты на 2. Напомним, что отношение между частотами звуков всегда будет принимать значение между 1 (соотношение частоты одного и того же звука) и 2 (отношение частот нот до соседних октав).

Сначала определим относительную частоту ноты соль, которая отстоит на одну квинту от ноты до:

соль = 3/2

Затем определим частоту ноты ре, которая отстоит на одну квинту от соль (необходимо умножить частоту на 3/2), но потребуется сдвиг на одну октаву ниже (умножить частоту на 1/2):

Расстояние между до и ре называется целым тоном. Как и следовало ожидать, один тон равен двум полутонам.

Затем определим относительную частоту ноты ля, отстоящей на одну квинту от ре:

Нота ми отстоит на одну квинту от ля, но потребуется сдвиг на одну октаву ниже:

Последние ноты строя — си, отстоящая на одну квинту от ми, и фа, для получения которой необходим сдвиг на одну квинту ниже до с последующим смещением на одну октаву выше (потребуется умножить частоту на 2).

Приняв частоту до за 1, представим частоты всех нот в таблице:

Можно повторить эти же действия, чтобы определить частоты бемолей, соответствующих черным клавишам пианино.

Для этого нужно последовательно выполнять сдвиг на одну квинту ниже, начиная с ноты фа.

Пифагорейская комма

На одну квинту выше ноты си находится фа-диез, который должен совпадать с соль-бемоль. Но это не один и тот же звук: разница между фа-диез и соль-бемоль называется пифагорейской коммой. Аналогично, определив частоты фа-диез и ре-бемоль, мы увидим, что они отстоят друг от друга не на одну кварту, а на интервал, который отличается от квинты на одну пифагорейскую комму. Эта квинта, которая немного меньше настоящей, называется волчьей квинтой.

Построив квинтовый круг из 12 квинт, мы получим ноту, которая немного отличается от первоначальной и отстоит от нее на семь октав:

Это «немного» и есть пифагорейская комма. Ее значение (обозначим его ПК) можно вычислить, взяв за основу частоту f и сравнив цепочку из 12 квинт, начиная с f, с цепочкой из семи октав:

Отличие будет чуть больше 1 % октавы или, что равносильно, почти четверть полутона. Это отличие вызвано тем, что дробь, соответствующая квинте, несовместима с дробью, соответствующей октаве, что нетрудно показать. Для этого попробуем найти такие показатели степеней х и у, которые позволят связать эти две дроби:

Из последнего равенства следует, что нужно найти число, которое одновременно было бы степенью двух и трех. Однако, так как 2 и 3 являются простыми числами, это противоречит основной теореме арифметики, согласно которой любое положительное число можно однозначно представить в виде произведения простых множителей. Эту теорему, которую сформулировал Евклид, впервые полностью доказал Карл Фридрих Гаусс. Из нее следует, что квинта и октава пифагорейского строя никогда не совпадут, то есть не существует хроматического строя без пифагорейской коммы, что аналогично.

И человеческий голос, и безладовые инструменты допускают использование так называемого натурального строя, в котором ноты более согласованны, гармоничны. И голос, и струнные инструменты допускают незначительное изменение высоты издаваемого звука (корректировку строя) для наибольшего созвучия. Как вы увидели, пифагорейский строй создается на основе одной главной ноты, из которой получаются остальные ноты путем упорядочивания чистых квинт. Однако это вызывает некоторые математические затруднения: во-первых, несовместимость квинты и октавы ведет к появлению уже упомянутой волчьей квинты, во-вторых, существует несовместимость между квинтами и большими терциями.

В пифагорейском строе соотношение частот для терций получается с помощью цепочки из четырех квинт. Используя смещение на одну или несколько октав, получим, что соотношение частот равно 81:64. Однако существует и другой способ определения терции с помощью простого соотношения 5/4 или, что равносильно, 80:64. Это чистая терция.

Отсюда следует, что в пифагорейском строе, представляемом в виде последовательности квинт, терции не являются чистыми. На белых клавишах пианино расположены три терции: до — ми, фа — ля и соль — си. Можно сказать, что пифагорейский строй состоит из чистых квинт в ущерб чистоте терций.

Диатонический строй

В результате поисков «чистого» натурального строя появилась новая система отношения звуков — диатонический строй. В пифагорейском строе звуки выражаются в виде последовательности квинт. Диатонический строй имеет более сложную структуру.

Начиная с ноты до, соблюдая интервалы в одну квинту, откладываются две следующие основные ноты этого строя: фа и соль. Далее определяются ми, ля и си, отстоящие на чистую терцию от до, фа и соль соответственно.

Последняя нота, ре, отстоит от ноты соль ровно на одну квинту:

Интервалы диатонического строя «чище» и более постоянны. Это проявляется и в том, что соотношения частот звуков диатонического строя относительно просты. Сначала, начиная с ноты до, частота которой принимается равной 1, рассчитываются частоты нот фа и соль, отстоящих от до на одну чистую квинту. Частота фа принимается равной 4/3, частота соль — 3/2. Далее рассчитывается частота ноты ми, отстоящей от до на 5/4.

Аналогично определяется частота ноты ля, которую отделяет от фа одна терция:

Си отстоит на одну терцию от соль:

И наконец, рассчитывается частота ре, которую отделяет от ноты соль одна чистая квинта со сдвигом в одну октаву:

Последовательность, определяющая интервалы диатонического строя, подчиняется структуре тональной музыки. К тональной музыке принадлежит подавляющее большинство музыкальных композиций, созданных за последние несколько веков, начиная от периода барокко и классики и заканчивая рок- и поп-музыкой, а также западной фолк-музыкой.