Построение с помощью линейки и циркуля, до этого много раз описанное в математических работах, состоит в том, чтобы строить точки, отрезки и углы, пользуясь исключительно идеальными линейкой и циркулем. Предполагается, что линейка имеет бесконечную длину и лишена делений, позволяющих измерять и переносить расстояния, а циркуль закрывается каждый раз, поднявшись над листом бумаги, так что его также невозможно использовать для переноса расстояний, поскольку он «забывает» о расстоянии между точками, как только перестает чертить окружность. Это правило построений было введено еще древнегреческими геометрами, и с тех пор оно осталось неизменным. Ограничение для циркуля кажется очень неудобным для современных циркулей, но на самом деле не предполагает серьезных неудобств, потому что перенос расстояний можно осуществить непрямым способом, хотя и с помощью большего количества шагов. Благодаря этому правилу построение шестиугольника с помощью линейки и циркуля кажется тривиальным (поскольку каждая окружность содержит вписанный шестиугольник со стороной, равной радиусу окружности), но требует больше работы, чем могло бы показаться.

Построение шестиугольника с помощью линейки и циркуля по описанным ранее правилам показано на рисунке.

Проведем две параллельные вертикальные прямые и третью, перпендикулярную им. Проведем окружности радиусом АВ с центрами в точках А и В. Возьмем одну из точек пересечения, например О. Это центр шестиугольника. Теперь проведем окружность с центром в точке О и радиусом ОА. Получаем точки Р и Q в местах пересечения с предыдущими окружностями и точки R и S в местах пересечения вертикальных прямых с окружностью, которую мы только что провели. Соединив вершины, получаем искомый правильный шестиугольник.

Построение шестиугольника с помощью идеальных линейки и циркуля, по традиции древних греков. Гаусса привлекло построение этих фигур, и в 19 лет он доказал, что таким образом можно нарисовать правильный многоугольник с 17 сторонами.

После того как мы определили правила, сформулированные древними греками, возникает вопрос: можно ли построить с помощью линейки и циркуля любой правильный многоугольник? Это зависит от того, о каком многоугольнике мы говорим. На основе построения шестиугольника тривиальным является построение равностороннего треугольника, поскольку для этого нужно лишь соединить чередующиеся вершины. Другая классическая проблема построений с помощью линейки и циркуля заключается в том, чтобы провести биссектрису угла. Сочетая эти два процесса, мы можем утверждать, что можно построить, по крайней мере в теории, все правильные многоугольники с числом сторон 3 х 2n, где n — натуральное число. Так, для n = 2 мы получаем 12-угольник, или многоугольник с 12 сторонами, а для n = 3 — многоугольник с 24 сторонами, и так мы можем продолжать, просто увеличивая п. Это решение очень далеко от общего ответа на вопрос. И мы увидим, что это частный случай предложенного Гауссом решения.

Греки нашли решение для пятиугольника, но общую проблему это не устранило, поскольку не был найден метод построения многоугольника с семью сторонами (а также других многоугольников с количеством сторон меньше 20). Более того, даже не было известно, существуют ли такие методы. Гаусс заинтересовался проблемой и нашел метод построения 17-угольника. Много лет спустя он будет вспоминать этот момент в письме Герлингу от 6 января 1819 года:

«Это произошло 29 марта 1796 года, во время каникул в Брауншвейге, и это абсолютно не было случайным, поскольку это был плод усиленных размышлений; утром этого дня, еще не встав с кровати, я увидел очень четко всю эту связь, так что я тут же применил к 17-угольнику соответствующее числовое утверждение».

Именно это открытие окончательно убедило юношу в том, что он должен посвятить себя математике. Кроме того, Гаусс включил этот результат в раздел VII «Арифметических исследований», о которых мы поговорим далее. Возможно, именно из-за того большого значения, которое открытие сыграло в жизни математика, он попросил выгравировать 17-угольник на своей могиле. К сожалению, каменщик, которому это поручили, не справился с работой и в итоге выгравировал 17-конечную звезду. На нынешней могиле Гаусса 17-угольника также нет.

Гаусс не только нашел способ построения 17-угольника, но и попытался ответить на основной вопрос: возможно ли построение любого правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля. Эта задача тесно связана с проблемой деления окружности, которая также занимала Гаусса и рассматривая которую он получил некоторые результаты. В 1801 году ученый доказал, что правильный многоугольник с п сторонами можно построить с помощью линейки и циркуля, пользуясь так называемыми простыми числами Ферма (или числами Ферма).

Ферма (1601-1665) — французский юрист и математик, которого Белл назвал королем математиков-любителей. Этим прозвищем Ферма обязан тому, что никогда не посвящал себя исключительно данной науке, которую считал скорее хобби, однако именно Ферма, наряду с Рене Декартом (1596-1650), был одним из основных математиков первой половины XVII века. Он внес значительный вклад в теорию чисел, которой начал интересоваться после прочтения «Арифметики» Диофанта. На полях одной из страниц именно этого произведения он записал знаменитую теорему, ставшую известной как «последняя теорема Ферма», что не совсем правильно, поскольку речь идет только о гипотезе. В этой гипотезе утверждалось, что не существует таких целых чисел х, у, z, что можно было бы составить уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ при n >= 3. Очевидно, что для n = 2 это действительно возможно, достаточно взять З² + 4² = 5². Гаусс никогда не занимался последней теоремой Ферма, и на это были свои причины. В 1816 году Парижская академия предложила премию за доказательство (или опровержение) гипотезы Ферма. Ольберс, немецкий астроном, друг Гаусса, уговаривал математика поучаствовать в конкурсе («Мне кажется справедливым, дорогой Гаусс, чтобы Вы занялись этим»), но ученый устоял перед искушением. Ответ математик дал лишь два месяца спустя, и в нем он изложил свое мнение о последней теореме Ферма. «Я очень благодарен Вам за новости относительно Парижской премии, но признаю, что теорема Ферма в изолированном виде представляет очень небольшой интерес для меня, поскольку я легко могу найти множество подобных утверждений, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть». Знаменитое высказывание Ферма было полностью доказано только в 1995 году британским ученым Эндрю Уайлсом.

Числа Ферма, названные так в честь Пьера де Ферма — первого, кто их изучал, — имеют следующий вид:

F_n = 2²ⁿ+1,

где n — натуральное число.

Ферма определил такие простые числа с намерением, очень далеким от того, чтобы решать задачи построения многоугольников с помощью линейки и циркуля (а на самом деле удалось доказать, что не все числа такого вида простые).

Гаусс показал, что для построения правильного многоугольника с n сторонами с помощью линейки и циркуля необходимо, чтобы нечетные простые множители n были различными простыми числами Ферма. То есть правильный многоугольник можно построить, если число его сторон — это степень числа 2, простое число Ферма или произведение некоторой степени числа 2 (включая единицу) и различных простых чисел Ферма. Это то, что в математике известно как достаточное условие. Итак, если многоугольник имеет форму, определенную Гауссом, его можно построить. Естественным образом возникает вопрос, является ли это также необходимым условием. То есть нужно проверить, только ли такие многоугольники можно построить с помощью линейки и циркуля.