Если даны два действительных числа b и х, можно сказать, что z — это логарифм х по основанию b, если b, возведенное в степень z, дает х. Выражаясь математически:

log_bx=z↔b^z=x.

У логарифмов есть два свойства, которые делают их очень удобными для арифметических операций. С одной стороны, логарифм произведения — это сумма логарифмов, а его частное превращается в разность. Так,

log_b(x · y) = log_bx+log_by, и, кроме того, log_b(x/y) = log_bx-log_by,

что позволяет осуществлять умножение и деление как сложение и вычитание с помощью таблиц логарифмов, которые совсем недавно были знакомы каждому школьнику. Благодаря замене умножения сложением, которую делают возможной логарифмы, ускорилось развитие навигации и торговли; таблицы логарифмов и обратных им величин стали очень популярны. Первую таблицу логарифмов составил в 1614 году шотландец Джон Непер (1550-1617). Математики поняли, что основание логарифма может меняться, благодаря чему стал очень популярным логарифм по основанию е. Это иррациональное число, принимающее значение 2,718182..., было впервые определено Эйлером и присутствует во многих математических выражениях. Число е можно получить как сумму

где n! — факториал натурального числа п.

Логарифмы по основанию е называют натуральными и обозначают In.

В книге логарифмов содержалась также таблица простых чисел, так что острый ум Гаусса начал проверять, нет ли какой-то связи между этими двумя таблицами, и здесь лежат истоки его огромного вклада в теорию простых чисел. Вместо того чтобы прогнозировать точное место простого числа относительно предыдущего, Гаусс попытался понять, можно ли проверить, сколько существует простых чисел, меньших 100, или 1000, или любого другого числа. Есть ли какой-то способ узнать, сколько таких чисел между 1 и N для заданного натурального числа N? Для этого он определил функцию:

π(Ν) = мощность множества {ρ<=Ν, где р — простое число}.

Запись не слишком удачная, поскольку складывается впечатление, что функция каким-то образом связана с числом π, а это не так. Сделав некоторые элементарные вычисления, можно прийти к выводу о том, что простые числа не распределяются равномерно. Например, существует 25 простых чисел, меньших 100; то есть при выборе числа от 1 до 100 у нас есть вероятность 1/4 столкнуться с простым числом. Эта вероятность уменьшается, если мы увеличиваем число Ν. Но следуют ли эти вариации какой-нибудь модели, которую можно выразить математически? Гаусс воспользовался своими таблицами простых чисел, чтобы найти ответ на этот вопрос. Когда он понаблюдал за долей простых чисел, взятых во все больших промежутках, ему показалось, что они следуют некой регулярной структуре. Если мы посмотрим на результат этих наблюдений для различных степеней числа 10, эта регулярность начнет вырисовываться.

В этой таблице намного больше информации, чем было в распоряжении Гаусса, у которого не было таблиц простых чисел, доходивших до 10000000. Но обычно ему требовалось меньше данных, чем другим людям, чтобы прийти к выводам, так что будет справедливо, если мы воспользуемся этим преимуществом. Если мы посмотрим на таблицу, становится очевидным, что среднее расстояние между последовательными простыми числами увеличивается, и для значений выше 10000 увеличение стабилизируется на 2,3. То есть когда мы умножаем на 10 число N, расстояние между простыми числами увеличивается на 2,3. Именно благодаря этой связи между умножением и сложением Гаусс подумал, что логарифмы могут играть важную роль. Поскольку среднее расстояние увеличивается на 2,3 вместо 1 каждый раз, когда мы умножаем на 10, возникает мысль, что это связано с логарифмом не по основанию 10. Гаусс выяснил, что наиболее подходящим для его вычислений основанием было число е, и, следовательно, он решил воспользоваться натуральными логарифмами. А ln(10) = 2,3034, следовательно, ln( 100) = ln(10 · 10) = ln(\0) + ln( 10), и аналогично при умножении еще на 10.

Это дало Гауссу основание сформулировать следующую гипотезу: для чисел в промежутке от 1 до N средняя удаленность между простыми числами равна ln(N). Следовательно, мы можем определить значение функции π как:

π(Ν) = Ν/ln(N)

Гаусс никогда не думал, что это точная формула. Он считал, что она может использоваться для оценки, для установления какого-то порядка в распределении простых чисел. Гаусс записал это приближение в книге логарифмов, но никому не объяснил своей идеи, поскольку у него не было доказательств правильности этого наблюдения и он не знал, сохранится ли модель по мере увеличения Ν. Такое поведение вполне соответствовало представлениям Гаусса о том, как нужно вести научные исследования. Без доказательства связь между простыми числами и логарифмами для ученого не имела ценности. Однако его идея стала зачатком нового способа решения проблемы и дала в будущем чудесные результаты.

С Гауссом в исследованиях вновь пересекся Лежандр. Французского математика также интересовала теория чисел, и в 1798 году, на шесть лет позже, чем Гаусс, он объявил об обнаружении экспериментальной связи между простыми числами и логарифмами. Результат, который предложил Лежандр, был лучше, поскольку выяснилось, что результат Гаусса удаляется от реальных значений по мере роста N.

На рисунке показано, что хотя Гаусс, безусловно, открыл нечто интересное, открытие можно было улучшить. Лежандр получил результат, определяемый формулой

π(Ν) = N/(ln(N)-1,08366)

сделав небольшое исправление, которое приближало формулу к реальному графику распределения простых чисел. На самом деле при существующих на то время таблицах простых чисел было почти невозможно различить графики π(Ν) и результат Лежандра. Он приспособил функцию к графику, что было относительно простой задачей при использовании метода наименьших квадратов, и поэтому в формуле появился такой член, как 1,08366, не имеющий в математике самостоятельного значения. Лежандр в своих изысканиях больше заботился о том, чтобы находить практические объяснения, а не искать доказательства. Так, в 1808 году он опубликовал свою гипотезу о простых числах в книге, озаглавленной Theorie des nombres («Теория чисел»), не раскрывая метода, который привел его к этому заключению. Спор о том, кто первым открыл связь между логарифмами и простыми числами, вызвал новую полемику между Гауссом и Лежандром. Свое разрешение она нашла только после смерти Гаусса, когда были изучены его заметки и переписка и было установлено, что он вновь обошел Лежандра. В любом случае уравнение Лежандра с добавленным членом имело довольно неестественный вид, кроме того, не было уверенности, что результат будет хорошим после расширения таблиц простых чисел.