В ту эпоху превалировала мысль о том, что числа -- это объекты, которые можно складывать и умножать, но не изображать. И потребовалось 50 лет для того, чтобы Гаусс решился открыть коллегам графические леса, которыми он воспользовался в диссертации. Эта теорема так захватила Гаусса, что он нашел еще три ее доказательства. Второе возникло через год после защиты, и оно дополняло некоторые пропуски первоначального варианта. Третье доказательство, выдвинутое в 1815 году, было основано на идеях Эйлера, в нем не применяются геометрические положения, и это первая серьезная попытка чисто алгебраического доказательства с открытым использованием комплексных чисел. Тут же Гаусс критикует попытки других математиков, основанные на аналитических методах. Последнее доказательство было получено в 1849 году, в связи с 50-летием докторской диссертации. Оно очень похоже на первое, но в этот раз Гаусс приводит все геометрические рассуждения. Чтобы понять важность диссертации Гаусса, достаточно отметить, что доказательство теоремы повергло в прах Эйлера, Лагранжа и Лапласа — трех величайших математиков в истории.

На основе работ Гаусса можно было подступиться к поиску корней многочлена любой степени. Для уравнений до пятой степени (n = 5) были найдены формулы нахождения корней с помощью коэффициентов самого многочлена, что называется решением в радикалах. Формулы были того же типа, что мы использовали для решения уравнений второй степени, однако для уравнений пятой степени их никак не могли найти. Решение нашлось у очень молодого французского математика Эвариста Галуа (1811-1832), который погиб в результате дуэли, едва ему исполнился 21 год. Галуа доказал, что невозможно решить уравнения пятой степени с помощью коэффициентов самого многочлена, и нашел альтернативные методы нахождения корней, пользуясь результатами Гаусса.

Галуа представил свои математические результаты, известные как теория Галуа, в Парижскую академию наук в 1830 году, чтобы получить премию по математике. Эта работа так и не была оценена, поскольку попала в руки Огюстена Луи Коши (1789-1857); тот признал себя недостаточно компетентным для ее разбора и передал заметки Жозефу Фурье (1768— 1830), который, как секретарь академии, должен был найти нового специалиста для анализа. Смерть Фурье оставила эти поиски незавершенными, статья Галуа затерялась и так и не была опубликована. Однако за ночь до дуэли Галуа, который понимал, что его шансы выжить в поединке невысоки, и в то же время осознавал важность своих открытий, торопливым почерком написал заметки, в которых обобщалось то, что известно  как теория Галуа о решении уравнений. Именно это его письменное завещание вошло в историю и позволило последующим математикам восстановить результаты молодого гения. Известно, что в том году премию академии получили Нильс Хенрик Абель (1802-1829) и Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851), двое из самых талантливых математиков своего времени. Однако вопрос, одержали бы они победу, если бы исходная работа Галуа не потерялась, так и останется без ответа. Можно лишь утверждать, что открытия молодого Галуа в математике можно сравнить лишь с открытиями самого Гаусса.

Гаусс начал свои исследования по теории чисел во время пребывания в Коллегии Карла в 1795 году, но к работе над своим основным трудом, Disquisitiones arithmeticae («Арифметические исследования»), он приступил во время пребывания в Гёттингенском университете с 1795 по 1798 год. Мы это знаем благодаря его научному дневнику, в котором уже в 1796 году появляются два блестящих результата: разложение любого целого числа на три треугольных и построение правильного 17-угольника, о которых мы уже говорили в главе 1. Они оба включены в «Исследования», увидевшие свет в Лейпциге летом 1801 года, через три года после возвращения Гаусса в его родной город Брауншвейг. Ученый снова отложил публикацию своих результатов до тех пор, пока не смог сделать этого в формате книги.

В «Исследованиях» Гаусс придал новое направление теории чисел, которая перестала быть набором разрозненных результатов и превратилась в такую же важную математическую дисциплину, как анализ или геометрия.

Работа разделена на семь глав, или разделов. Первые три раздела вводные, разделы с IV по VI образуют центральную часть работы, а раздел VII — это маленькая монография, посвященная отдельной теме, но связанная с остальными главами.

Молодому Гауссу повезло, что он мог рассчитывать на материальную помощь герцога Брауншвейгского (сверху), который оплачивал его образование и покровительствовал ученому до своей смерти в 1806 году. Благодаря влиянию герцога Гаусс в 1791 году поступил в Коллегию Карла (внизу), где начал работу над некоторыми своими важнейшими математическими результатами, отраженными в «Арифметических исследованиях», обложка которых представлена на среднем фото.

В разделе I, состоящем всего из пяти страниц, вводятся элементарные понятия, такие как признаки делимости на 3, 9 и 11. Кроме того, Гаусс дает определение сравнения по модулю; это понятие будет раскрыто в разделе II: если заданы целые числа а и b и их разница (а - b или b - а) делится без остатка на число m, мы говорим, что a, b сравнимы по модулю m, и это записывается следующим образом: a = b (mod m). Так, 56 = 6 (mod 5) или 47 = 14 (mod 11).

Сравнения по модулю — очень важное открытие в математике, они помогают выполнять вычисления любого типа. Их идея близка к тому, как работают с обычным циферблатом часов, поэтому сравнения также называют вычислителями часов. Если обычные часы со стрелками показывают 9, и проходит 4 часа, стрелки будут показывать 1. То есть 13=1 (mod 12). Такое вычисление, как 7² = 7 · 7, в итоге дает 1 по модулю 12, поскольку 49, разделенное на 12, в остатке дает 1. Результат сравнения по модулю — это всегда остаток от деления числа на определенный модуль.

Значимость этой системы проявляется, когда речь идет о более сложных вычислениях. Если нужно вычислить 7³ = 7 · 7 · 7, вместо того, чтобы умножать 49 на 7, Гаусс мог ограничиться тем, чтобы умножить 7 на результат последнего сравнения по модулю, то есть 1, произведение будет равно, без сомнения, 7. Так, Гаусс знал, что произведение — это число, которое при делении на 12 в остатке дает 7. Этот метод может быть применен на больших числах, которые превышают возможность вычисления. Не имея ни малейшего понятия о значении 799, с помощью сравнений по модулю ученый знал, что если разделить это число на 12, в остатке получится 7. Исследования Гаусса в этой области арифметики были революционными для математики начала XIX века и позволили ученым обнаруживать структуры, до этого скрытые. Сегодня арифметика сравнений по модулю, также называемая модульной арифметикой, является фундаментальной для безопасности в интернете, где сравнения используются для величин, превышающих количество атомов во Вселенной.

Также преимущество этой записи состоит в том, что она напоминает форму, в которой мы записываем алгебраические выражения. Вместо арифметической делимости, описание которой может быть громоздким, она дает краткую запись, благодаря которой можно складывать, вычитать и умножать сравнения, если их модуль одинаков, а также решать уравнения вида: ах + b == c (mod m).

В заключении к двум первым разделам Гаусс применил эти методы к историческим проблемам, таким как вычисление знаменитой функции φ Эйлера. Функция φ(N) определяется как количество целых положительных чисел, меньших или равных N и взаимно простых с Ν. В математике два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, то есть их наибольший общий делитель — 1. Например, 9 = З² является взаимно простым с 10 = 5 · 2, и его нужно было бы найти при вычислении φ( 10). Множество φ( 10) состоит, следовательно, из четырех элементов (1, 3, 7 и 9), и значит, φ( 10) = 4.