Однако мы всегда вновь обнаруживаем асимметричную необходимость перехода от гладкого к рифленому и от рифленого к гладкому. Если верно, что странствующая геометрия и номадическое число гладких пространств постоянно инспирируют королевскую науку рифленого пространства, то, напротив, метрика рифленых пространств (meiron) необходима для того, чтобы транслировать странные данные гладкого многообразия. Итак, трансляция — непростой акт: мало заменить движение пробегаемым пространством, нужна серия богатых и сложных операций (и Бергсон — первый, кто заговорил об этом). Трансляция более не является и вторичным актом. Это операция, состоящая, несомненно, в том, чтобы обуздать, сверхкодировать, метризировать гладкое пространство, нейтрализуя его, а также сообщая ему среду распространения, расширения, преломления, возобновления, стремительного роста, без коих оно, возможно, умерло бы само по себе — подобно маске, без которой оно не могло бы найти ни дыхания, ни общей формы выражения. Большая наука вечно нуждается во вдохновении, исходящем от малой науки; но малая была бы ничем, если бы не сталкивалась лицом к лицу с высшими научными требованиями и не проходила через них. Рассмотрим только два примера богатства и необходимости трансляции, заключающих в себе столько же шансов для раскрытия, сколько и опасностей, связанных с закрытием или остановкой. Прежде всего, сложность средств, с помощью которых мы транслируем интенсивности в экстенсивные количества или, более обобщенно, многообразия дистанции в системы величин, кои измеряют их и рифлят (роль логарифмов в связи с этим). С другой стороны — и главным образом, — тонкость и сложность средств, с чьей помощью кусочки гладкого риманова пространства обретают евклидову конъюнкцию (роль параллелизма векторов в рифлении бесконечно малого).^[666] Мы не смешиваем коннекцию, присущую кускам риманова пространства («аккумуляция»), с евклидовой конъюнкцией пространства Римана («параллелизм»). Однако обе они связаны и преобразуются друг в друга. Ничего никогда не заканчивается: то гладкое пространство позволяет себе становится рифленым, то рифленое пространство возвращает себе гладкое — в случае необходимости с крайне разными ценностями, масштабами и знаками. Возможно, мы должны сказать, что любой прогресс достигается в рифленом пространстве и благодаря ему, но любое становление имеет место в гладком пространстве.

Можно ли дать самое общее математическое определение гладким пространствам? По-видимому, «фрактальные объекты» Бенуа Мандельброта находятся как раз на этом пути. Фракталы суть совокупности, чья размерность является дробной, а не целой, или же целой, но с непрерывным варьированием направления. Например, сегмент, где центральную треть мы заменяем углом равностороннего треугольника, а затем ту же операцию повторяем на каждом из четырех образовавшихся сегментов, и так далее до бесконечности, следуя отношению однородности, — такой сегмент будет конституировать бесконечную линию или кривую с размерностью выше 1, но ниже размерности поверхности (= 2). Сходные результаты могут быть получены просверливанием или вырезанием «бухточек» в круге, а не посредством добавления «мысы» треугольнику; также можно рассмотреть и куб, где дырки просверливаются согласно принципу однородности, в результате чего он становится меньше, чем объем, и больше, чем поверхность (в этом состоит математическое представление о сходстве свободного пространства и дырчатого пространства). А еще — в других формах — броуновское движение, турбулентность и облака являются такими «фрактальными объектами».^[667] Возможно, мы располагаем новым способом определения нечетких множеств. Но, главным образом, гладкое пространство получает общее определение, принимающее в расчет его отличия от рифленого пространства, а также отношения с последним: 1) будем называть рифленой или метрической любую совокупность, которая имеет целую размерность и которой можно приписать постоянные направления; 2) неметрическое гладкое пространство конституируется посредством конструирования линии с фрактальной размерностью большей, чем 1, или конструирования поверхности фрактального размерности большей, чем 2; 3) фрактальное число размерности — показатель собственно направленного пространства (с непрерывной вариацией направления без касательной); 4) тогда гладкое пространство определяется тем, что у него нет измерения, дополнительного к тому, что движется по нему или вписывается в него — в этом смысле именно плоское многообразие, например линия, заполняет план, не переставая быть линией; 5) само пространство и то, что оккупирует пространство, стремятся к тому, чтобы идентифицироваться, обладать одной и той же мощью в неточной, но тем не менее строгой форме исчисляющего или не целого числа (оккупировать, не считая); 6) такое гладкое, аморфное пространство образуется благодаря аккумуляции близостей, и каждая аккумуляция определяет зону неразличимости, присущую «становлению» (больше, чем линия, и меньше, чем поверхность; меньше, чем объем, и больше, чем поверхность).

Кривая фон Коха: больше, чем линия, но меньше, чем поверхность. В сегменте АЕ (1) выделяется вторая треть и заменяется треугольником BCD (2). И (3) данная операция повторяется по отдельности во всех сегментах — АВ, ВС, CD и DE. в результате получается угловатая линия, все сегменты которой равны. На каждом из таких сегментов мы повторяем третий раз (4) то, что было проделано в (2) и (3), и так далее до бесконечности. в пределе мы получаем некую «кривую», состоящую из бесконечного числа угловых точек и не имеющую касательной ни к одной из них. Длина такой кривой бесконечна и ее размерность выше единицы: она представляет пространство размерностью 1,261859 (а точнее: log 4 / log 3).

Губка Серпинского^[668] больше, чем поверхность, но меньше, чем объем! Закон, согласно которому этот куб пуст, на первый взгляд можно постичь интуитивно — каждый квадрат окружен восьмью квадратными дырками в треть от его стороны; такие восемь дырок сами окружены восемью дырками еще в треть от их стороны. И так до бесконечности. чертеж не может отобразить бесконечность дыр исчезающего размера ниже четвертого порядка, но ясно, что этот куб в пределе бесконечно пуст. Его общий объем приближается к нулю, вся боковая поверхность из пустот бесконечно возрастает. Размерность данного пространства 2,7268. Она, следовательно, «заключена» между поверхностью (с размерностью 2) и объемом (с размерностью 3). «Ковер Серпинского» — одна из граней такого куба; значит, пустоты — это квадраты, а размерность «поверхности» — 1,2618. (Воспроизводится по: Studies Geometry, Léonard Blumenthal and Karl Mé Freeman and company, 1970).

По поводу «фрактальных объектов» Б. Мандельброта

Физическая модель. — Разными моделями подтверждается идея рифления: два перпендикулярно пересекающихся ряда параллелей, причем некоторые из них — вертикали — играют, скорее, роль постоянных или констант, тогда как другие — горизонтали — играют скорее роль переменных. Грубо говоря, это случай основы и пряжи, гармонии и мелодии, долготы и широты. Чем более регулярно пересечение, чем более плотно рифление, тем более однородным стремится стать пространство: именно в этом смысле нам с самого начала кажется, будто однородность является не характеристикой гладкого пространства, а совсем наоборот — высшим результатом рифления или формой-пределом пространства, рифленого повсюду и во всех направлениях. Если гладкое и однородное явно коммуницируют, то лишь в той мере, в какой рифленое не достигает своего идеала совершенной однородности и способно заново порождать гладкое пространство, следуя движению, налагающемуся на движение однородного, но полностью отличному от последнего. Действительно, в каждой модели гладкое, как нам кажется, принадлежит фундаментальной разнородности: войлок или лоскуты, а не ткачество; ритмические значимости, а не гармония-мелодия; риманово, а не евклидово пространство — непрерывная вариация, выходящая за пределы любого распределения констант и переменных; освобождение линии, не проходящей между двумя точками; формирование плана, не продолжающегося благодаря параллельным и перпендикулярным линиям. Связь между однородным и рифленым может быть выражена в терминах воображаемой, элементарной физики. 1) Вы начинаете с рифления пространства вертикалями тяготения, параллельными между собой. 2) У таких параллелей или сил есть результирующая, прилагаемая к точке тела, заполняющего пространство, центр тяжести. 3) Положение этой точки не изменяется, когда мы меняем направление параллельных сил, когда они становятся перпендикулярными к их изначальному направлению. 4) Вы обнаруживаете, что тяготение — особый случай универсального притяжения, следующего прямым линиям или дву-однозначным отношениям между двумя телами. 5) Вы определяете общее понятие работы как отношение сила — перемещение в неком направлении. 6) И тогда у вас есть физическое основание для все более и более совершенного рифленого пространства, подчиненного точкам не только по вертикали и горизонтали, но и в любом направлении. — Нет даже необходимости обращаться к такой ньютонианской псевдофизике. Греки уже перешли от пространства, рифленого вертикально сверху вниз, к центрированному пространству, к обратимым и симметричным отношениям во всех направлениях, то есть к рифленому во всех смыслах-направлениях, дабы конституировать однородность. И конечно же оно подобно двум моделям аппарата Государства, вертикальным аппаратам империи и изотропным аппаратам города.^[669] Геометрия лежит на пересечении проблемы физики и Государственных дел.