Вот теперь мы можем, наконец, воспользоваться теоремой Котельникова и определить необходимую частоту «проб». Смысл теоремы довольно прост: если среди многих частот, содержащихся в сложном сигнале, наибольшая частота, которую «замечает» приемник, составляет 1000 герц, то информация окажется достаточно полной только в том случае, если в течение каждой секунды «пробы» будут сниматься не меньше 2 тысяч раз.

Во всех случаях частота опроса должна быть в два раза больше самой высокой частоты, содержащейся в спектре сигнала.

Наука предсказаний

Все было бы хорошо, если бы сигналы всех датчиков имели неизменную форму и обладали определенной частотой повторения. Но на практике дело обстоит гораздо сложнее.

Например, если датчик дает информацию о распыленных в космосе мельчайших частицах, то сигнал в соответствующем канале непрерывно меняется, потому что частицы встречаются то чаще, то реже, плотность их может быть то постоянной, то изменяться в течение каждой секунды несколько раз. А когда изменяется форма сигнала, изменяется и его спектр. Наш «частокол» будет очень подвижным, он может стать то уже, то шире, а уровень прыгает то вверх, то вниз. Говоря образно, спектр будет «дышать». Как найти наибольшую частоту такого подвижного спектра? Как определить необходимую частоту наших «проб»? С какой скоростью должен производить опрос шаговый переключатель?

Чтобы ответить на эти вопросы, теория информации привлекает на помощь другую теорию - теорию случайных процессов.

Если частота и уровень образующих спектр сигналов изменяются по случайным законам, значит можно определить вероятности различных уровней и частот. А зная вероятности, можно предвидеть будущее. Спутник, скажем, существует только в проекте, а мы уже знаем, как будут вести себя сигналы из космоса, когда, достигнув орбиты, он действительно станет спутником нашей Земли. Но для этого нам придется исследовать множество подобных сигналов - ведь само понятие «вероятность» справедливо только для многократно повторяющихся событий.

Нельзя, например, применив теорию вероятностей, предсказать, сколько раз из десяти подброшенная монета упадет вверх гербом. Может быть, 5, а может быть, 3 или 6. И все же теория утверждает, что вероятность выпадения любой из сторон монеты равна 50 процентам, и можно с полной уверенностью предсказывать, что подбрасываемая монета не сможет опровергнуть этого утверждения. И действительно, когда английский ученый Карл Пирсон ради эксперимента подбросил монету 24 тысячи раз, число падения вверх гербом составило 50,05 процента! А ведь так оно и должно быть: чем больше бросков, тем более точно подтверждается то, что предсказано вероятностью. Здесь действует закон больших чисел.

Явления, вероятность которых учитывает теория информации, куда сложнее и многообразнее, чем падение подброшенной монеты: ведь в процессе передачи сигналов происходит непрерывное изменение многих уровней и частот. Потому и приходится учитывать их вероятность, чтобы узнать, каких сигналов следует ожидать. Между прочим, в теории случайных процессов ожидание - это не вынужденное безделье, а точно подсчитанная величина. Ее называют «математическим ожиданием».

Однако не слишком ли мы увлеклись теорией? Может быть, лучше обратиться к примерам из жизни?

На стройку должна прибыть партия рабочих. Начальник стройки отдал распоряжение завхозу закупить для них спецодежду. А какие нужны размеры, не сказал. Да и не мог сказать: у него есть список рабочих, но в этом списке, разумеется, не отмечен их рост. Но завхоз уверенно составляет заявку, в которой числится много спецовок средних размеров и меньшее количество на высокий и малый рост.

По списку закуплено и выдано 5 тысяч спецовок, и к концу раздачи становится ясным, что из всех 5 тысяч рабочих только для нескольких хитрый снабженец не угадал нужного размера. Кладовщик в полном недоумении: подумать только, наугад закуплено столько костюмов, и почти все оказались в самый раз!

А стоит ли удивляться? Ведь завхоз, сам того не подозревая, составлял список по законам теории вероятностей. Быть может, он никогда в жизни не слышал, что есть на свете такая теория, но жизненный опыт подсказал ему, что средний рост имеет наибольшую вероятность, а люди слишком высокие или очень уж низкие встречаются как исключение.

Но можно было ту же задачу решать и более строго. Например, так. Дать команду рабочим прекратить работу на стройке и выстроиться в один длинный ряд. Линия, «огибающая» рабочих, будет кривой случайного распределения роста людей.

Завхоза, который решился бы предложить подобный способ расчета спецовок, начальник стройки, очевидно, уволил бы в тот же день. И он был бы прав: лучше закупить сотню лишних спецовок, чем прерывать строительство хотя бы на полчаса. К счастью, завхозы, как правило, обходятся без подобных приемов, полагаясь на свой жизненный опыт. Но нас с вами этот пример интересует с точки зрения чисто теоретической, а потому (да простит нас строгий начальник стройки!) мы попытаемся довести расчет до конца.

Давайте установим 5 размеров спецовок и составим таблицу их вероятностей.

Номер

размера

спецовок

Расход

ткани

(кв. м)

Число спецовок

на каждую сотню

рабочих

Вероятность

данного

размера

1

2,0

15

0,15

2

2,5

20

0,20

3

3,0

30

0,30

4

3,5

25

0,25

5

4,0

10

0,10

Теперь можно смело закупать 150 первых и 200 вторых размеров на каждую 1000 спецовок - составленная по законам теории вероятностей таблица «предскажет» рост вновь прибывших рабочих без значительных ошибок.

По этой таблице можно делать и другие расчеты. Можно рассчитать, сколько надо купить ткани для того, чтобы сшить вновь прибывшим рабочим костюмы точно по росту. Как это сделать? Ведь рост каждого из рабочих нам по-прежнему неизвестен. Зато мы можем рассчитать по нашей таблице, какого расхода ткани следует ожидать. Каждый из указанных в таблице расходов мы помножим на его вероятность и, сложив все полученные цифры, определим ожидаемый средний расход.

Средний расход = 2,0·0,15 + 2,5·0,20 + 3,0·0,30 + 3,5·0,25 + 4,0·0,10 = 2,975 ≈ 3 кв. м.

Расчет, как видите, подтвердил, что ожидать надо именно среднего роста - недаром завхоз закупал средний размер. Если мы собираемся покупать материал на 5 тысяч спецовок, то надо исходить из того, что все 5 тысяч рабочих имеют одинаковый средний рост. Но разве среди 5 тысяч рабочих не найдется высоких и низких? Найдутся, конечно. И спецовки им придется шить разные: и средние, и малые, и большие. Однако в среднем на каждого из рабочих придется потратить материала ровно столько, сколько требует средний размер.

Конечно, в жизни подобные задачи решаются значительно проще: ведь никто не упрекнет снабженца, если в результате обеспечения 5 тысяч рабочих на складе останется Немного неиспользованного материала. Но техника не терпит ни «избытка», ни «недостатка»: от точности определения вероятности и математического ожидания уровней и частот всех сигналов зависит точность передачи сообщений и общее количество информации, которое наша система сможет нам передать.

Логика автоматов

Теория с практикой связана неразрывно. Теория утверждает, что точность полученной информации будет тем выше, чем больше частота опроса, а техника связи создает шаговые системы, в которых роль ползунка выполняет сфокусированный поток электронов, способный в течение каждой секунды обежать все контакты тысячи раз.