Очередная катастрофа произошла несколько веков спустя и особенно терзала математику в XVII-XVIII столетиях. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин. Мы видели, что бесконечность участвовала и в первом кризисе. Там она отразилась в способе представления иррациональных чисел. Она будет участвовать и в третьем кризисе. И вообще, полагают некоторые, если резюмировать сущность математики в немногих словах, то можно сказать, что она — наука о бесконечном. Так, крупнейший немецкий ученый XX века Д. Гильберт, имея в виду математику, писал:

«Ни одна проблема не волновала гак глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея не оказала сголь сильного и плодотворного влияния на разум, как идея бесконечного». Но вместе с тем, заключает он, «ни одно понятие не нуждается так в выяснении, как понятие бесконечного». Однако вернемся к кризисам.

Бесконечно малые — это переменные величины, стремящиеся к тлю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу расплывчатою понимания бесконечно малого.

В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же — принималось как значение, отличное от нуля, о чем говорит и само название. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно матым объясняется гем, что их рассматривали в качестве постоянных величин. В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами.

Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно построенной в начале XIX века известным французским математиком О. Коши. Это парадоксальное состояние (полагать бесконечно малые нулями и в то же время неравными нулю) О. Коши разрешает введением качественно новых, неслыханных ранее величин. Он берет их из области возможного, а не действительного. Бесконечно малые — это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. То есть они всегда остаются в возможности, в потенции, так что не реализуется ни одна из указанных альтернатив. Величины не застывают в каких-либо одних конкретных значениях. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.

Интересные величины!

Последний кризис (последний по времени, но, надо полагать, не по счету) имел место на рубеже XIX-XX веков и был столь мощным, что затронул не только саму математику, но и логику, поскольку эти науки тесно связаны и язык, поскольку дело касалось способов точного выражения содержания наших мыслен.

К концу XIX века в качестве фундамента всего здания классической математики прочно утвердилась теория множеств, развитая выдающимся немецким ученым Г.Кантором. Понятие «множество» или «класс», «совокупность» — простейшее в математике. Оно не определяется, а поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т. д Далее вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Так, книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.

С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Теперь ее грандиозное здание напоминало несокрушимую крепость. Оно было прочно заложено и обосновано во всех своих частях. Недаром же крупнейший французский математик того времени А. Пуанкаре в послании очередному математическому конгрессу торжественно заявлял, что отныне все может быть выражено с помощью «целых чисел и конечных и бесконечных систем целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств».

Увы. скоро, очень скоро обнаружились сначала частные, а позднее фундаментальные изъяны. Но здесь в разговор вмешивается логика.

Дело в том, что основные понятия теории множеств допускали логическое описание. Доказательство возможности существования математических объектов также получало логическое оправдание. Мы не будем вникать в детали. Отметим лишь следующее. Многие исследователи, учитывая только что сказанное, задались целью свести математику к логике, то есть выразить исходные математические понятия и операции логически. Казалось даже, что эта программа — ее назвали программой логицизма — близка к завершению. Немецкий логик и математик Г. Фреге уже заканчивал и частью издал трехтомный труд «Обоснования арифметики», венчающий усилия логицистов, как вдруг разразилась «арифметическая катастрофа».

В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание Г. Фреге на противоречивость его исходных позиций. Г. Фреге использовал такие понятия, что это вело к парадоксу. Попробуем в нем разобраться.

Мы уже говорили, что множество (класс) есть совокупность объектов, которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество элементом самого себя, то есть принадлежит ли оно к числу элементов собственного класса?

В этом пункте начиналось интересное.

Есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента. Например, класс списков, Его элементами являются конкретные списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов некоторой группы и т. д. Но и сам класс оказывается в числе своих элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и каталог каталогов есть каталог.

Однако подобных классов очень немного. Обычно же классы не содержат себя в качестве собственного элемента. Возьмем, например, множество «человек».

Его составляют конкретные люди: Петров, Сидоров, Аристотель. Любой человек, молодой или в возрасте, мужчина или женщина, студент или профессор — каждый из них является элементом множества «человек».

Само же это множество элементом собственного класса стать не может, ибо нет человека вообще, человека как такового. Это не более чем абстракция, понятие, которое отвлечено от всех конкретных признаков и существует только в идеальном виде как мысленная конструкция.

А теперь образуем класс из всех вот таких классов, которые не включают себя в качестве своего элемента: «человек», «дерево», «планета» и т. п. Образовали. Попытаемся также определить, будет ли он, этот новый класс, входить элементом в свое же множество или не будет? Здесь и возникал парадокс. Если мы включим его в свой класс, то его надо выключить, потому что сюда, по условию, входят только те множества, которые не являются собственными элементами. Но если выключим, тогда надо включить, поскольку он будет удовлетворять условию: он же в этом случае не является элементом своего множества.

Таков смысл парадокса, названного именем Б. Рассела. Имеется его популярное изложение — «парадокс парикмахера». Он приписывается также Б. Расселу.

В некой деревне, где жил единственный парикмахермужчина, был издан указ: «Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами». Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.

Но логический парадокс, выявленный Б. Расселом, был свидетельством противоречий в содержании математической теории. Согласно одной из теорем Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества, обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще более мощное.

Это с одной стороны. А с другой, интуитивно очевидно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все мыслимые множества.

Выступление Б. Рассела имело широкий резонанс.

Конечно, парадоксы были отмечены и до него. О математическом парадоксе знал, в частности, и Г. Кантор.