Мы понимаем, что прямо, в лоб, строго решить проблему непротиворечивости — задача безнадежная.

Сколько бы сотен миллионов теорем мы ни доказали, не может быть уверенности, что в следующей теореме мы не наткнемся на противоречие.

А теперь мы хотим доказать: если противоречива геометрия Лобачевского, то непременно противоречива и геометрия Евклида.

Однако на первый взгляд и здесь не видно ясного пути.

Правила игры (аксиомы) различны. Правда, отличаются геометрии лишь одной аксиомой — аксиомой о параллельных, но в принципе дела это не меняет.

Игры разные. И совершенно неясно, как вообще можно перекинуть связующий мост между ними.

Тем не менее это оказалось возможно.

Боюсь, что различные аналогии, призванные пояснять, лишь затуманят суть, и потому прямо перейду к доказательству. Автор его — один из крупнейших математиков XIX века Феликс Клейн. О нем, конечно, стоило бы рассказать. Был он интересный и сложный человек, но, к сожалению, нам невозможно слишком увлекаться историей. Я хочу только привести один поразивший меня в свое время факт.

Клейн прожил долгую жизнь. И если взять только те его работы, что были им выполнены после 30–35 лет, то по любым меркам — перед нами великолепный разносторонний ученый. Активный, тонкий, плодовитый математик, блестящий знаток прошлого своей науки, один из лучших педагогов за всю историю математики.

Сам он жестко и безапелляционно написал, что после 30 лет в результате нервного переутомления, вызванного исследованием одной математической проблемы он никогда больше не был способен к творческой деятельности. Он не кокетничал. Он действительно думал именно так. И признаюсь, меня подкупают люди такого склада. Другой вопрос — облегчает ли им жизнь такая беспощадность к себе?

Итак, доказательство.

Сначала мы «играем» в евклидову геометрию. Рассмотрим обычный круг. Проведем в нем хорду. Возьмем какую-нибудь точку, не лежащую на этой хорде. Ясно, что через эту точку можно провести бесчисленное число других хорд, не пересекающих нашу. Это все хорды, уместившиеся между двумя пересекающими нашу в ее крайних точках; там, где она пересекается с окружностью.

Пока все до наивности ясно. Неясно только, какое отношение этот круг может иметь к геометрии Лобачевского.

И сейчас произойдет удивительное.

Идея Клейна в том, что он превращает этот тривиальный круг в модель плоскости Лобачевского.

Вот как это происходит.

Повторим старое заклинание.

Математику все равно, что такое его Основные Понятия. Лишь бы удовлетворялись аксиомы.

И начинается двойная игра.

Мы называем:

круг — плоскостью Лобачевского;

любую хорду в круге — прямой Лобачевского;

точку — точкой Лобачевского.

Естественно, мы должны добавить новые понятия: «соотношения», «лежать между», «принадлежать» и «движение».

Добавим их. А после этого попробуем сыграть с этими евклидовыми элементами в «геометрию Лобачевского».

Чтобы проделать это, надо будет обратиться к списку аксиом и проверить, удовлетворяют ли наши элементы аксиомам геометрии Лобачевского.

Сравнительно легко можно убедиться, что с большинством аксиом все в порядке.

Все великолепно и с аксиомой о параллельных — единственной, отличающей геометрию Лобачевского от геометрии Евклида: «Через данную точку к данной «прямой» можно провести бесчисленное множество непересекающих ее «прямых».

Пока из чувства перестраховки я ставлю кавычки у слова «прямая». Но стоит доказать, что для наших понятий выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского, — и кавычки можно будет смело убрать.

Не забывайте только — идет двойная игра. Мы все время должны «переводить» с языка евклидовой геометрии на язык геометрии Лобачевского. И наоборот.

С понятиями «принадлежать» и «лежать между» все хорошо. На обоих языках они одинаковы. Трудности начинаются, когда мы переходим к движению.

Понятие «движение» должно удовлетворить всей группе аксиом движения.

Мы заявили, что наш круг — плоскость Лобачевского. Очень хорошо. Мы можем определить движение в этой плоскости Лобачевского. Это движение обязано удовлетворять всем положенным ему аксиомам. (Их стоит сейчас посмотреть в приложении к третьей главе.)

Тоже хорошо. Но неясно, можно ли сформулировать это понятие движения неевклидовой плоскости на языке евклидовой геометрии.

Неевклидова плоскость в нашем случае на евклидовом языке — круг. Движение, вспоминаем мы, — это взаимно однозначное преобразование плоскости самой в себя. Значит, на евклидовом языке мы должны найти какое-то преобразование круга самого в себя.

Один класс таких преобразований сразу назойливо напрашивается. Это простые повороты круга относительно его центра. Однако легко убедиться, что эти преобразования не годятся как кандидаты в «неевклидово движение».

При поворотах невозможно перевести любую заданную точку круга в любую другую заданную заранее точку. Ну, например, центр круга. При таких преобразованиях он всегда неподвижная точка. Он переходит сам в себя. А аксиомы, определяющие движение, требуют, чтобы при движении любую данную точку можно было перевести в любую другую. Поэтому повороты не могут нас удовлетворить.

Однако необходимые нам преобразования круга есть. Есть!

И это центральный и радостный момент в схеме Клейна.

Он указал бесчисленное множество таких преобразований круга (их называют проективные преобразования), которые переводят круг в точно такой же «новый круг». Любую внутреннюю точку «старого круга» во внутреннюю точку «нового круга». Любую точку контура «старого круга» оставляют на контуре «нового круга».

А хорды «старого круга» переходят в хорды «нового круга».

Эти преобразования круга (на евклидовом языке — проективные преобразования) на неевклидовом языке удовлетворяют всем аксиомам движения.

Например, преобразование хорд на неевклидовом языке означает, что прямые переходят в прямые и т. д.

А теперь можно сделать последний, решающий шаг. И мы его делаем.

Мы объявляем эти преобразования «движением плоскости Лобачевского».

Подведем итог.

Вот она, модель Клейна.

Все свойства проективных преобразований, конечно, известны, но, вообще говоря, нам не нужно их знать. Достаточно принять на веру, что такие преобразования существует.

И — вот она, минута торжества! Если можно объявить круг плоскостью Лобачевского… А это можно, мы доказали это… Если так… Задача решена.

Действительно, пусть, доказывая какую-то теорему в геометрии Лобачевского, мы пришли к противоречию. Допустим это. Но каждая теорема геометрии Лобачевского означает теперь одновременно какую-то теорему геометрии Евклида для нашего круга, его хорд и для проективных преобразований. Каждую теорему мы можем сформулировать на двух языках. И, получив противоречие в геометрии Лобачевского, мы одновременно получим противоречие в евклидовой геометрии.

Конечно, на евклидовом языке это противоречие будет выглядеть по-другому, оно откроется в другой теореме, но это-то совершенно неважно. Важно то, что если в одной геометрии скрыто логическое противоречие, оно скрыто и в другой.

Геометрии равноправны.

И тем самым доказана независимость пятого постулата от остальных аксиом геометрии Евклида.

Все!

Но, как в сказках Шехерезады, в науке конец любой истории — это начало следующей.

И доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского означало для математиков начало колоссального цикла работ по исследованию проблем аксиоматики, по созданию сложнейшего, идеально строгого и абсолютно абстрактного аппарата — математической логики; аппарата, бесконечно далекого от малейших практических приложений, пока не оказалось, что электронно-вычислительные машины… Впрочем, трудно найти более удобный момент для конца наших рассуждений.