Мне потребовалось много лет, чтобы разобраться в математических тонкостях предмета. Я находил их непостижимыми, пока не начал читать ранние статьи английского математика Шена Маджида, который был одним из изобретателей квантовых групп. Его труд был тесно связан с математикой, которую использовала польская группа. Маджид начинал с некоторых воображаемых идей о том, как выразить в единой математической структуре существенные прозрения относительности и квантовой теории. Это привело его к квантовым группам (которые являются революционным расширением идеи симметрии), а затем к модификациям теории относительности на основе объекта, который мы называем некоммутативной геометрией. Его прозрения были в ядре математики, требуемой, чтобы ясно выразить теорию DSR, но они были затеряны — по меньшей мере, для меня — в запутанных статьях, где я впервые увидел их выраженными.
В любом случае Жоао и я проигнорировали математику и пытались говорить о физике. Наш прогресс был прерван моим отбытием в сентябре 2001 года в Канаду, во вновь созданный Пограничный институт. Месяцем позже Жоао прибыл в Пограничный институт как его второй посетитель. Теория, наконец, встала на место в послеполуденное время после его прибытия. Мы работали в престижной части города Ватерлоо, в кафе с названием Симпозиум с комфортабельными диванами. У него были расстроены биоритмы в связи с перелётом через несколько часовых поясов. Я был травмирован и истощён, только что вернувшись после уикэнда в Нью-Йорке, следующего за событиями 11 сентября. Я впадал в апатию, когда говорил Жоао, затем просыпался и находил его дремлющим. Я вспоминал что-то, что он сказал, как я терял сознание, я набрасывал что-то на блокноте, затем опять впадал в спячку. Я просыпался, когда он начинал говорить, и мы имели несколько взаимно вразумительных минут, прежде чем он опять впадал в спячку. Так и прошло послеобеденное время, мы говорили, вычисляли и дремали по очереди. Я могу представить, что думал персонал кафе. Но в некоторый момент во время этого полудня мы случайно обнаружили ключевой фактор, который ускользал от нас в течение месяцев, заключающийся в замене импульсов на положения. Когда мы были готовы, мы изобрели вторую версию DSR, намного более простую, чем та, которую разработал Джованни Амелино-Камелиа. Теперь она известна у специалистов как DSR II.
Это и было, грубо говоря, то, что Жоао хотел. В нашей версии фотоны, которые имели больше энергии, путешествовали быстрее. Таким образом, в очень ранней вселенной, когда температура была очень высока, скорость света была, в среднем, быстрее, чем сегодня. Если вы идёте ещё дальше назад во времени, и температура подходит к планковской энергии, скорость света становится бесконечной. Потребовалось немного дольше повозиться, чтобы показать, что это привело к версии теории с переменной скоростью света, которая также согласуется с принципами общей теории относительности, но мы, в конечном счёте, получили это тоже. Мы назвали эту теорию Гравитационной радугой в честь новеллы Томаса Пинчона{20}.
«Двойная СТО» дурацкое название, но оно укоренилось. Идея элегантна, до настоящего времени много обсуждается и изучается. Мы не знаем, описывает ли она природу, но мы знаем о ней достаточно, чтобы полагать, что она могла бы.
Первые отклики на DSR не были воодушевляющими. Некоторые люди говорили, что она непоследовательна; другие говорили, что она ничто иное как очень сложный способ записать эйнштейновскую СТО. Несколько человек критиковали теорию в обоих направлениях.
Мы ответили на второе критическое замечание, показав, что теория делает предсказания, отличающиеся от предсказаний СТО. Ключевая роль в этих дискуссиях была сыграна высококультурным фанатиком тяжёлой металлической музыки по имени Джерзи Ковальски-Гликман из Варшавы. (Возможно, только европейцы могли бы в полном смысле слова быть ими обоими.) Я убеждён, что он был первой персоной, которая на самом деле осмыслила то, что говорил Джованни Амелино-Камелиа; я определённо понял его статью, которая была краткой и кристально прозрачной, прежде чем я понял статью Джованни, которая была длинной, напечатанной мелким шрифтом и полной отступлений и деталей. Джерзи нашёл несколько важных следствий двойной СТО, и именно он привёл в порядок взаимосвязь между нашими попытками и более ранним математическим трудом его польских коллег.
Водоразделом в моём понимании DSR и того, как связаны различные подходы к ней, была дискуссия, которую мы имели однажды после обеда в доме моей подруги в Торонто. Джованни, Джерзи, Жоао и я сжались вокруг небольшого стола в её узкой столовой в попытке добраться до дна наших разногласий и недопониманий. Джерзи спокойно настаивал, что если всё имеет смысл, оно должно подходить к непротиворечивой математической структуре, которая для него означает некоммутативную геометрию, которую изучали он и его польские коллеги. Жоао говорил, что всё, что делается в физике, должно быть понятно без причудливой математики. Джованни утверждал, что легко говорить бессмыслицы об этих теориях, если вы не позаботились о том, какие математические выражения соответствуют вещам, которые могли бы быть измерены. В некоторый момент — я не помню особый комментарий, который побудил его, — Джованни схватил огромный хлебный нож и взвыл: «Если то, что вы говорите, верно, я перережу себе глотку. Сейчас же!»
Мы уставились на него, и после мгновения шокированного молчания мы свалились в хохоте, так уж он сделал. Только затем каждый из нас был готов начать слушать то, что говорят другие.
Фактически, имелись различные версии DSR, которые давали различные предсказания. В некоторых имелась энергия, которую нельзя было превысить, аналогично максимальной скорости света. В других не было максимальной энергии, но был максимальный импульс. Это неудачно, так как это уменьшает предсказательную силу теории, но это, кажется, не портит последовательность теории, так что это нечто, с чем нам надлежит жить.
Непротиворечивость DSR была показана через демонстрацию, что имеется возможная вселенная, в которой она могла бы быть верна. Возможная вселенная подобна нашей собственной с одним отличием, которое в том, что пространство имеет только два измерения. В 1980-е было открыто, что квантовая гравитация может быть точно определена в мире с только двумя пространственными измерениями. Мы называем это 2+1 квантовой гравитацией, для двух измерений пространства и одного времени. Более того, если там нет материи, теория может быть решена точно — то есть, можно найти точные математические выражения, которые отвечают на любой вопрос, который может быть задан о мире, который описывает теория.
Оказалось, что DSR верна в любом мире с двумя измерениями пространства, квантовой гравитацией и материей. Особая форма DSR, которая понята, была форма, оригинально открытая Джованни. Когда Джерзи и я просмотрели назад литературу, мы увидели, что некоторые люди находили свойства этого двумерного мира, которые являются аспектами DSR, но они сделали это до того, как концепция DSR была изобретена. Возбуждённые, мы описали это Лауренту Фрейделю, коллеге по Пограничному институту из Франции, который работал над квантовой гравитацией. Он сказал нам, что он не только уже знает это, но и пытался поговорить об этом с нами ранее. Я согласен, это верно. В обсуждении Фрейдель имеет больше энергии, чем я, и я обычно перестаю понимать, о чём он говорит, на что он отвечает путём более быстрого и громкого разговора. В любом случае, мы написали вместе статью, которая объяснила, почему DSR должна быть верной во вселенных с двумя измерениями пространства[90].
Через некоторое время после этого Фрейдель в сотрудничестве с Этерой Ливин, постдоком в Пограничном институте из Французского Таити, показал в деталях, как DSR срабатывает в теории 2+1-мерной гравитации с материей[91]. Это важные результаты, поскольку факт, что имеется модель возможного мира, где DSR верна, гарантирует последовательность теории.
