Слева — центр, справа — фокус.

Слева — узел, справа — седло идее сепаратрисы, которые в этом случае представляют собой две прямые, пересекающиеся в центральной точке.

Позднее Пуанкаре сформулировал теорему, которая сегодня называется теоремой Пуанкаре — Бендиксона (в честь шведского математика, закончившего ее доказательство). Согласно этой теореме, наряду с предельными циклами (замкнутыми кривыми, притягивающими соседние траектории) указанные выше разновидности особых точек являются единственно возможными на плоскости. Так как в двух измерениях существуют только центры, фокусы, узлы, седла и предельные циклы, то можно сказать, что количество траекторий, которые описывают решения дифференциальных уравнений, невелико: они могут описывать витки вокруг центра или предельного цикла, удаляться от узла, проходить вблизи седла или приближаться к фокусу. Все возможные варианты траектории можно пересчитать по пальцам одной руки.

Предельный цикл осциллятора Ван дер Поля. Он представляет собой замкнутую кривую (на рисунке — широкая линия), которая притягивает к себе все ближайшие траектории.

В 1881 году, за четыре года до проведения конкурса, Пуанкаре уже понимал, что созданную им новую качественную теорию можно использовать для решения задачи трех тел и ответа на вопрос об устойчивости Солнечной системы. Не напрасно лейтмотивом статьи «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» стали вопросы: «Описывает ли движущаяся точка замкнутую кривую? Всегда ли эта кривая будет находиться в определенной части плоскости? Иными словами, если использовать астрономические термины, является ли орбита устойчивой?».

За несколько лет до проведения конкурса, в 1878 году, американский астроном Джордж Уильям Хилл привлек всеобщее внимание к важности периодических решений (замкнутых кривых) задачи об устойчивости Солнечной системы. Периодическое (то есть повторяющееся) движение очень полезно при изучении устойчивости: при таком движении тело никогда не сойдет с орбиты, не столкнется с другим телом и не улетит бесконечно далеко. Хилл нашел периодическое решение задачи трех тел для случая, когда масса одного из них пренебрежимо мала по сравнению с остальными.

Проблема Хилла представляла собой частный случай задачи трех тел, в котором легкая планета движется под действием сил притяжения двух одинаковых звезд, лежащих в одной плоскости. Изучив проблему Хилла, Пуанкаре доказал: эту проблему, равно как и общий случай задачи трех тел, нельзя решить классическими методами решения дифференциальных уравнений — в отличие от задачи двух тел (ее решили Ньютон, Бернулли и Эйлер), не все интегралы движения можно решить при помощи законов сохранения (энергии, импульса и так далее). Пуанкаре сделал вывод: какого-то одного общего решения задачи трех тел, выраженного в простых и привычных функциях, не существует.

У Пуанкаре оставался последний шанс — метод возмущений. Применив его, он нашел решения в виде бесконечных степенных рядов. Тем не менее ничто не указывало, что эти ряды (аналогичные ряды ранее получили Эйлер, Лагранж и Линдстедт) сходились, пусть они и удовлетворяли уравнениям задачи трех тел. В конечном счете Пуанкаре оставил попытки найти аналитическое решение задачи.

Лишь в 1909 году, то есть более чем 20 лет спустя, математик Карл Зундман (1873–1949) наконец представил общее решение задачи трех тел в виде сходящегося ряда. Искомый ряд сходился крайне медленно, а решение Зундмана было настолько сложным, что на практике оказалось совершенно бесполезным, но если бы он добился своего результата 20 годами ранее, то, возможно, получил бы премию от короля Оскара II.

Пуанкаре, оставив анализ, обратился к топологии, решив, что если он рассмотрит вопрос с другой стороны, то докажет существование периодических решений.

Так как устойчивость решений нельзя было оценить путем изучения рядов, Пуанкаре решил использовать свою качественную теорию дифференциальных уравнений: описывают ли эти решения замкнутые кривые, то есть являются ли они периодическими? Если движущееся тело описывает замкнутую кривую, то есть цикл, то рано или поздно его движение повторится, следовательно, движение тела будет периодическим. Вооружившись своей новой теорией, в которой были объединены анализ и топология, Пуанкаре показал: существует бесконечно много замкнутых кривых, а следовательно, бесконечно много периодических решений.

Слева — король Швеции и Норвегии Оскар II, справа — Магнус Геста Миттаг-Леффлер. Король-пифагореец и математик-платоник.

На конкурс короля Оскара II двенадцать математиков представили двенадцать работ. Всего в пяти из них рассматривалась задача трех тел, но ни в одной не приводилось требуемого решения в виде степенного ряда. В итоге 20 января 1889 года, за день до шестидесятилетнего юбилея монарха, уважаемое жюри, получив одобрение короля, объявило победителем Анри Пуанкаре за статью «О задаче трех тел и уравнениях движения»: «Эта статья не может считаться полным решением предложенной задачи, однако она столь важна, что ее публикация откроет новую эру в истории небесной механики».

Французская пресса сочла Пуанкаре едва ли не героем, его победа расценивалась как триумф французской математики над немецкой, которой традиционно отдавалось первенство.

Однако вскоре стало понятно: что-то пошло не так. Когда Миттаг-Леффлер опубликовал статью Пуанкаре, астроном Йохан Аугуст Гуго Полден, подобно Немезиде, вместе с Леопольдом Кронекером незамедлительно провозгласил, что эта работа ничем принципиально не отличается от более ранней его работы, опубликованной в 1887 году.

Ситуация обострилась еще больше, когда несколько месяцев спустя, в июле 1889-го, на Пуанкаре с градом вопросов обрушился Эдвард Фрагмен, редактор журнала Acta Mathematica, который хотел прояснить непонятные моменты объемной статьи перед публикацией. Эрмит неспроста писал: «В этой работе, как и почти во всех остальных, Пуанкаре только показывает путь, однако требуется приложить немало усилий, чтобы устранить лакуны и закончить его работу».

Кроме того, в конце ноября сам автор обнаружил в статье грубую ошибку, о чем сообщил Миттаг-Леффлеру в письме, датированном 1 декабря:

«Сегодня утром я написал Фрагмену, чтобы сообщить о допущенной мной ошибке, но я сомневаюсь, что он даст тебе прочесть мое письмо. Однако последствия этой ошибки намного серьезнее, чем я изначально предполагал. Двоякоасимптотические решения [сепаратрисы, проходящие через седло] не являются замкнутыми кривыми… следовательно, не являются периодическими решениями. Верно лишь то, что две составляющие этой кривой [две сепаратрисы] пересекаются бесконечное число раз. Не буду говорить, какое беспокойство причинило мне это неприятное открытие. В статью необходимо внести много изменений».

Это письмо, несомненно, поразило редактора журнала и организатора конкурса: признание Пуанкаре серьезно подорвало авторитет жюри и организаторов. Миттаг-Леффлер оказался в крайне затруднительном положении. Он попытался изъять из обращения уже напечатанные копии статьи и не придавать огласке ошибку Пуанкаре, чтобы не повредить репутации ученого. Весь тираж очередного номера престижного журнала Acta Mathematica пришлось уничтожить — сохранился единственный экземпляр номера, который сейчас хранится в сейфе в Институте Миттаг-Леффлера. Между тем всего за два месяца, то есть за декабрь 1889-го и январь 1890 года, Пуанкаре полностью исправил все ошибки в своей работе, отправил ее в печать и оплатил публикацию из своего кармана, так как еще до участия в конкурсе согласился покрыть все накладные расходы. Пуанкаре заплатил более 3500 шведских крон при том, что в качестве премии он получил всего 2500 крон.