Негамильтонов хаос, напротив, наблюдается в системах, не сохраняющих энергию, к примеру, в системе Лоренца. Так как эти системы не сохраняют энергию, в них присутствуют аттракторы и возникают наиболее известные хаотические объекты — странные аттракторы, представляющие собой промежуточное звено между теорией хаоса и фрактальной геометрией.
Странный аттрактор — это аттрактор хаотической системы, которому свойственна фрактальная геометрия. Фрактал — это геометрический объект неправильной формы с бесконечным множеством деталей, обладающий самоподобием, и, скорее всего, имеющий дробную размерность. Странные аттракторы — сложные структуры, которые при последовательном увеличении демонстрируют самоподобие, свойственное фракталам: в них вновь и вновь проявляется одна и так же структура. Кроме того, многие из них имеют дробную размерность. Иными словами, если мы находимся на плоскости, то размерность нашего фрактального аттрактора будет больше 1, но меньше 2 и составит, к примеру, 1,5: аттрактор будет занимать больше пространства, чем кривая, но меньше, чем плоскость. Если мы находимся в пространстве, размерность фрактального аттрактора будет больше 2, но меньше 3 и составит, к примеру, 2,25: аттрактор будет занимать больше пространства, чем плоскость, но меньше, чем объемное тело. Таков смысл дробной размерности. К примеру, размерность аттрактора Лоренца примерно равна 2,06. Любопытно, что с момента открытия аттрактора Лоренца считалось, что он имеет «странный» характер (то есть является аттрактором хаотической системы и, возможно, имеет фрактальную геометрию), однако строгое математическое доказательство этого было найдено лишь в 2000 году. В 1998 году Стивен Смэйл предложил доказательство этого утверждения в качестве одной из открытых математических задач XXI столетия.
В 2002 году математик Уорвик Такер смог строго доказать существование аттрактора Лоренца в статье под названием «Аттрактор Лоренца существует». Аттрактор в форме бабочки, изображенный Лоренцем на экране компьютера, стал реальностью. Аналогичная ситуация произошла со странным аттрактором Эно, открытым с помощью компьютера в 1976 году: его существование было математически доказано лишь в 1987 году усилиями шведского математика Леннарта Карлесона, лауреата Абелевской премии 2006 года.
Странный аттрактор Уэды. Этот аттрактор, напоминающий водоворот, представляет собой сечение Пуанкаре для хаотической системы.
Слева направо и сверху вниз — последовательность увеличенных изображений аттрактора Эно. На всех иллюстрациях изображен один и тот же узор — складывающиеся кривые.
Судьба аттрактора Рёсслера, напротив, сложилась не столь удачно. Отто Рёсслер предложил ряд уравнений, описывающих химическую реакцию Белоусова — Жаботинского. Эта реакция протекает в колебательном режиме: участвующие в ней вещества непрерывно соединяются и распадаются, и в результате образуются удивительные узоры красно-синего цвета. Компьютерное моделирование решений системы дифференциальных уравнений обладало хаотическим поведением, подобным тому, что рассмотрел Аоренц при решении своей системы. Рёсслер, подобно Лоренцу, предположил, что в системе присутствует странный аттрактор — аттрактор Рёсслера, существование которого все еще не доказано. Никто до сих пор не знает, действительно ли посреди хитросплетения траекторий находится аттрактор Рёсслера или это всего лишь иллюзия, возникающая при компьютерном моделировании.
Странные аттракторы Лоренца (слева) и Рёсслера (справа). Существование последнего до сих пор математически не доказано.
Какое значение для динамики имеет фрактальная геометрия аттрактора? Можно предположить, что никакого, но это не так. Пуанкаре, Смэйл и Лоренц учат, что в основе любой динамики всегда лежит геометрия.
В классических аттракторах (фиксированных точках и предельных циклах — еще не так давно другие аттракторы были неизвестны) соседние орбиты всегда располагаются близко друг к другу, небольшие ошибки, как и предполагал Лаплас, заключены в определенных границах, таким образом, можно делать долгосрочные прогнозы. Если говорить о странных аттракторах, присущих хаотическим системам, то все обстоит иначе: две орбиты с близкими начальными условиями располагаются близко друг к другу лишь на коротком промежутке времени, после чего очень быстро отдаляются. Поведение соседних траекторий в странном аттракторе можно проиллюстрировать следующим экспериментом: если представить, что они действуют на маленькую каплю красящего вещества в жидкости, то капля постепенно примет форму очень длинной и тонкой нити, словно пронизывающей весь аттрактор.
Даже если точки, отмеченные красящим веществом, изначально будут находиться очень близко друг к другу, в конечном итоге они окажутся в произвольных частях аттрактора. Прогнозирование финального состояния любой из этих точек при сколь угодно малой ошибке измерения невозможно — в зависимости от допущенной ошибки финальные состояния точек могут располагаться в любой части странного аттрактора. Хаос перемешивает орбиты подобно тому, как пекарь замешивает тесто. Поведение орбит геометрически описывается посредством операций растяжения и складывания. Орбиты должны растягиваться, при этом будут возрастать ошибки (эффект бабочки), а также складываться и постепенно сплетаться по мере приближения к аттрактору (эффект карточной колоды). Растягивание увеличивает неопределенность, при складывании изначально далекие друг от друга траектории сближаются, а информация об исходном состоянии системы уничтожается. Траектории смешиваются, как смешиваются карты в колоде в руках умелого игрока. Так как операции растяжения и складывания повторяются бесконечное число раз, в аттракторах хаотических систем должно наблюдаться множество сгибов внутри каждого сгиба. Именно поэтому с геометрической точки зрения хаотические аттракторы намного сложнее классических. По мере увеличения масштаба хаотические аттракторы раскрывают всё новые и новые детали и проявляют свое самоподобие: структура хаотических аттракторов на микроуровне столь же сложна, как и на макроуровне. Одним словом, хаотические аттракторы — это фракталы.
Несколько примеров хаоса
Мы увидели, что существуют математические системы, обладающие хаотической динамикой. Но каково их практическое значение? Что такое хаос: правило или исключение?
Хаос вездесущ и проявляется повсеместно: и при движении небесных тел (задача трех тел), и при колебаниях двойных маятников, в потоках на грани турбулентности (поток Рэлея — Бенара), в некоторых химических реакциях (реакция Белоусова — Жаботинского), в определенных биологических популяциях и так далее. Открытие повсеместного присутствия хаоса стало третьей великой революцией в науке за последние 100 лет, после открытия теории относительности и квантовой механики.
Достойный упоминания пример хаотического движения в Солнечной системе — движение Гипериона, спутника Сатурна, по форме напоминающего картофелину, который, как может показаться, совершает случайные колебания. Гиперион движется вокруг Сатурна по орбите правильной формы, однако вращается вокруг себя совершенно беспорядочно: в результате быстрого хаотического движения он переворачивается каждые 6 часов и при вращении вокруг своей оси в буквальном смысле подскакивает.
* * *
МИТЧЕЛЛ ФЕЙГЕНБАУМ В ПОИСКАХ ХАОСА
Митчелл Фейгенбаум (род. 1944) — специалист по математической физике, первый, кто начал изучать хаос с помощью компьютеров. В 1975 году методом проб и ошибок он обнаружил число, которое сегодня называется постоянной Фейгенбаума и характеризует переход от периодического движения к хаотическому. Мы уже наблюдали это любопытное явление, когда говорили о логистическом отображении: по мере того как мы постепенно изменяли значение параметра к, периоды орбит удваивались. На смену орбитам с периодом 1 приходили орбиты с периодом 2,4,8,16,32 и так далее, после чего, при превышении критического значения к, равного 3,569945…, наступал хаос.
Удвоение периодов орбит, начиная с k — 2 и заканчивая этим значением, происходит так быстро, что в конечном итоге период удваивается бесконечное число раз. Так возникает хаос. По мере увеличения к возрастает и сложность логистической системы: из стационарной она становится периодической, затем — хаотической. Если мы представим точку или точки, к которым сходится орбита х — 0,8 в логистическом отображении для различных значений параметра k, получим диаграмму, представленную на следующей странице.
На этой диаграмме значения к откладываются по горизонтальной оси, значения, к которым стремится орбита х — 0,8, — по вертикальной. Если мы зафиксируем значение k, то вертикальный разрез будет изображением соответствующего аттрактора на интервале от 0 до 1. К примеру, при k — 3,0 вертикальная линия пересекает график всего в одной точке. Это означает, что точка имеет период, равный 1, и является фиксированной. Другой пример: при k — 3,2 вертикальная линия пересечет график в двух точках. Это означает, что орбита представляет собой 2-цикл. По мере движения по горизонтали от k — 2,4 до k — 4 ветви дерева Фейгенбаума будут раздваиваться вследствие удвоения периода. Когда мы преодолеем критическое значение 3,569945…, аттрактор, определяемый вертикальными линиями, превратится в беспорядочную полосу. Он будет представлять собой фрактал (Канторово множество). При значениях k, превышающих пороговое, будут наблюдаться отдельные островки периодичности. К примеру, при k — 3,82 на диаграмме наблюдается полоса: если мы проведем воображаемую вертикальную линию, она пересечет диаграмму всего в трех точках: вверху, в середине и внизу. Иными словами, орбита будет представлять собой 3-цикл. Как вы уже знаете, «период, равный трем, означает хаос», поэтому то хаотическое нагромождение точек, которое наблюдается на диаграмме для последующих значений параметра, не должно казаться таким уж удивительным.
Фейгенбаум вычислил отношения относительных расстояний между ветвлениями (иными словами, между размерами ветвей дерева) и заметил, что эти отношения в пределе стремились к 4,669201… вне зависимости от того, какое отображение рассматривалось — логистическое или любое другое.
Следовательно, найденная им постоянная была универсальной. Хотя Фейгенбаум обнаружил эту постоянную эвристическим методом, а не с помощью формального доказательства, его открытие считается гениальным.
