Что вы видите? Полученные десятичные дроби абсолютно случайны! Они напоминают номера лотерейного тиража. Это случайность, порождаемая хаосом. Орбиты чисел (2)^0,5 -1, π — 3 или любого другого иррационального числа будут колебаться между 0 и 1. они будут приближаться к нулю столь же часто, как и к единице (или к 0,5). Знаки в десятичной записи иррациональных чисел не подчиняются какому-либо закону. Таким образом, если два рациональных числа — периодические десятичные дроби, значение которых точно известно, — порождают орбиты, которые рано или поздно будут периодическими (то есть начнут повторяться), то иррациональные числа (бесконечные непериодические десятичные дроби), напротив, порождают исключительно беспорядочные орбиты. Так как любое рациональное число бесконечно близко к некоторому иррациональному, периодические и непериодические орбиты неизбежно будут переплетаться между собой. В этом и заключается эффект карточной колоды.

Можно задаться вопросом: где в этом примере выполняются операции растяжения и складывания, которые порождают хаос? Чтобы обнаружить их, нужно посмотреть, какие математические действия мы совершаем при выполнении сдвига Бернулли. Мы уже говорили, что сдвиг Бернулли представляет собой сдвиг запятой в записи десятичной дроби на одну позицию вправо с последующим удалением первой цифры полученного числа. Когда мы сдвигаем запятую, в действительности мы умножаем число на 10, то есть «растягиваем» его, а когда мы стираем первую цифру, то уменьшаем, или «складываем, сгибаем» число. И вновь мы видим магический рецепт хаоса.

* * *

СДВИГ БЕРНУЛЛИ

Символическая динамика имеет и другие интересные свойства.

1) Она не поддается компьютерным вычислениям. Так как компьютеры работают с ограниченным числом десятичных знаков в записи дробей, для них все числа представляют собой точные десятичные дроби. Следовательно, если мы запрограммируем сдвиг Бернулли, то увидим на экране компьютера, что аттрактором всех орбит (подобно орбитам всех точных дробей) будет точка 0. Ни малейшего намека на хаос.

2) Существуют периодические орбиты с произвольным периодом. Так как периодические дроби могут иметь произвольный период (например, состоящий из шести цифр:

то будут наблюдаться орбиты с произвольными длинами периодов: 1, 2,3,4, 5. Математики Ли Тянь-Янь и Джеймс Йорк на основе теоремы Шарковского сформулировали знаменитую теорему, согласно которой если для непрерывной функции существует орбита с периодом 3, то для нее существуют орбиты с любым периодом. Точная формулировка теоремы звучит так: существование 3-цикла подразумевает существование n-цикла (для n — 1,2,3,4, 5…). Ли и Йорк удачно подытожили смысл теоремы в названии свой статьи: «Период, равный трем, означает хаос».

3) Адамар и Смэйл обнаружили, что символическая динамика — один из самых заметных признаков хаоса. И соленоид, и подкова Смэйла, и аттрактор Лоренца обладают символической динамикой. Если мы рассмотрим десятичные дроби в двоичной системе счисления, то сможем описать каждую траекторию аттрактора Лоренца последовательностью нулей и единиц.

К примеру, траектория 0,11000101… сначала совершит два витка вокруг правой части аттрактора (так как после запятой записаны две единицы), затем — три витка вокруг его левой части (так как за двумя единицами следуют три нуля подряд) и так далее. Применив эту символическую динамику, можно доказать существование хаоса в системе Лоренца: каждая траектория будет беспорядочно вращаться вокруг правой или левой части аттрактора.

* * *

Рассмотрим теперь логистическое отображение Мэя, которое задается следующим уравнением в конечных разностях:

х_n+1 = kх_n (1 — х_n).

Иными словами, для данного начального условия х на интервале между 0 и 1 орбита х рассчитывается путем последовательного вычисления значений функции f(х) = kx (1 — х), где k — параметр, больший 1, но меньший 4. Поведение логистической системы, названной так потому, что она используется для моделирования динамики численности определенных популяций, удивительным образом зависит от значения k. Если k меньше некоторого критического значения, которое, по оценкам, составляет 3,569945…, то траектории будут иметь правильную форму. При превышении этого критического значения траектории будут стремиться к хаосу. Эта дискретная динамическая система четко показывает, что простые математические действия могут обладать неожиданно сложными свойствами.

Функция f(х) является функцией второй степени:

f(х) = kx (1 — х) = kx — kx².

Иными словами, f(х) — нелинейная функция, и именно эта нелинейность делает возможным хаотическое поведение: в силу нелинейности небольшие отклонения начальных условий могут приводить к значительным изменениям.

Изучим динамику логистического отображения для значений k, меньших критического, к примеру для k = 2. Примем в качестве начального условия x₀  = 0,8 и определим его орбиту с помощью калькулятора:

Теперь, когда мы знаем, как рассчитываются первые члены орбиты, вычислим

следующие члены напрямую:

Обратите внимание на полученные значения. Что вы видите? Они последовательно приближаются к 0,5. Рассматриваемая траектория четко приближается к пределу — точечному аттрактору, расположенному в точке 0,5. Ради любопытства вычислим орбиту точки 0,5: так как f (0,5) = 2∙0,5∙(1 — 0,5) = 22424∙0,5∙0,5 = = 0,5, орбита этой точки будет стационарной (значения функции всегда будут равны 0,5). Следовательно, орбита точки 0,8 сходится к точке равновесия.

Рассмотрим, как наша траектория сходится к этой фиксированной точке, геометрически. Используем компьютерную программу, чтобы показать, как изменяются значения орбиты (представленные на вертикальной оси) с ростом числа итераций (откладываются на горизонтальной оси).

Нетрудно видеть, что значения орбиты очень быстро стабилизируются в окрестности точки 0,5, что мы уже вычислили при помощи калькулятора.

Далее будем изображать орбиту точки на так называемой диаграмме-паутине.

Построив график f(х) = 2х (1 — х) (он будет представлять собой параболу, так как f(х) — функция второй степени), рассмотрим начальное условие x₀ = 0,8. Далее определим орбиту этой точки графически. Проведем вертикальную линию через точку с абсциссой x₀ = 0,8 до пересечения с параболой — графиком функции f(x).

Затем из точки пересечения этой линии с параболой проведем горизонтальную линию до пересечения с диагональю у = х. Полученная абсцисса (координата на горизонтальной оси) будет указывать положение точки пересечения построенной линии с диагональю и будет соответствовать х₁ Далее будем смещаться вертикально (вверх или вниз), пока вновь не пересечем график f(х). Повторив описанные выше действия, получим ломаную линию. Абсциссами ее вертикальных отрезков будут x₀, х₁, х₂, х₃. Эта ломаная линия укажет, куда будет стремиться орбита x₀.