Последовательность значений энергии, которую может иметь атом, колеблющийся в узле кристаллической решетки, согласно Эйнштейну, образует «энергетическую лесенку». Ее ступеньки отстоят друг от друга на расстоянии ∆W. Энергия обычного маятника (грузик на нитке!), разумеется, тоже обязана квантоваться. Однако, так как частота колебаний грузика на пружине исчезающе мала по сравнению с частотой квантового маятника, величина ∆W в первом случае оказывается очень малой. Вот конкретный пример: маятник с длиной нити l = 100 см и массой груза т = 10 г колеблется с амплитудой А ≈ 10 см. Его энергия оказывается W ≈ 5•104 эрг, а частота ν ≈ 5 • 10-1 с-1. Такой частоте соответствует энергия поглощаемого и испускаемого кванта
hν = 3•10-27 эрг. По сравнению с полной энергией маятника эта величина практически равна нулю, и, следовательно, можно считать, что классическая закономерность «чем — тем» между энергией и частотой практически не искажается.
Сказка о классическом и квантовом маятниках рассказывалась легко и быстро. Думаю только, что многие читатели не удовлетворились ею. У них обязательно должны возникнуть приблизительно следующие вопросы: почему вообще надо заводить разговор о квантовых маятниках, которые так необычно (быть может, лучше «непривычно») себя ведут, поглощая энергию порциями? Почему такие маятники должны существовать? Я понимаю потребность добросовестного читателя задать эти вопросы. К сожалению, однако, ответы на них не последуют, так как они — вопросы эти — из числа тех, которые не следует задавать! Так устроена природа, таковы ее законы, которым она — мудрая! — неукоснительно подчиняется. Здесь я огражу себя от возможных нареканий и перед словами «не следует» поставлю слово «пока»: пока не следует. Сегодня наука развивается, предполагая, что квантовость поглощения и излучения энергии — первооснова природы вещей.
В то время, когда Эйнштейн привнес в науку мысль о том, что твердое тело может поглощать энергию лишь определенными порциями, квантовая физика только рождалась, ее идеи были еще «вещью в себе», в них не очень верил даже М. Планк, предложивший идею квантования энергии. Шаг Эйнштейна был шагом революционным.
Физический смысл идеи Эйнштейна заключается вот в чем. При низкой температуре тепловая энергия, которая, как известно, пропорциональна температуре, может оказаться меньше той минимальной «квантовой» порции энергии, которую атому, колеблющемуся с частотой V, разрешено поглощать. Складывается ситуация, противоречащая здравому смыслу, воспитанному на классических закономерностях: мы добросовестно греем кристалл в обычной «классической» печи, а он, следуя квантовым законам, не должен поглощать тепло. Если бы все атомы имели абсолютно одинаковые судьбы, кристалл обнаружил бы нулевую теплоемкость до температуры T*, при которой kT* = ∆W. Это совсем не малая температура. Так как ∆W ≈ 6. 10-14 эрг, а
k = 1,38. 10-16 эрг/К, то оказывается, что Т* ≈ 400 К.
В действительности, однако, когда средняя тепловая энергия kT меньше квантовой порции энергии hν, некоторое малое количество атомов, вследствие случайного стечения обстоятельств, может иметь энергию, равную энергии одного кванта. С повышением температуры число таких атомов будет возрастать. Могут даже появиться атомы, энергия которых равна энергии двух и большего числа квантов. А это означает, что они (а с ними и кристалл) будут поглощать энергию и кристалл обнаружит ненулевую теплоемкость.
Здесь можно было бы привести расчет теплоемкости кристалла, основанный на описанной идее Эйнштейна. Не станем этого делать, обратим лишь внимание на физическое содержание результата расчета, естественно следующее из этой идеи. При низкой температуре (Т<< Т*) с ее понижением теплоемкость падает по причине, нам уже известной: между величиной и нулевым значением энергии нет ступеней энергетической лестницы, а число атомов, имеющих энергию hν, убывает. А в области высоких температур (Т >> Т*) кристалл уже «забывает» об энергетической лестнице, так как ее шаг мал по сравнению с kT и она воспринимается не как лестница, а как гладкая наклонная плоскость. В силу вступает классическая закономерность «чем — тем», а с ней и закон Дюлонга и Пти.
Заслугу Эйнштейна переоценить трудно: он не только устранил кричащее противоречие между классическим представлением о теплоемкости твердых тел и результатами ее экспериментального исследования, не только внес очень существенную коррективу в классические представления о непременных признаках жизни кристалла. Он совершил нечто несравненно более значимое: привнес квантовые представления в теорию твердых тел.
Все сказанное Эйнштейном о теплоемкости твердых тел оказалось правдой, однако не вся правда была им сказана. Полученные Эйнштейном формулы, как выяснилось, качественно правильно отражали экспериментально найденные зависимости теплоемкости от температуры. А количественное совпадение теории с результатом эксперимента не достигалось. Его добился Петер Дебай через несколько лет после опубликования работы Эйнштейна.
Основную идею Эйнштейна Дебай сохранил. Он лишь дополнил ее предположением о том, что эйнштейновские «квантовые» маятники колеблются не независимо, они как бы связаны между собой, как, например, связаны отдельные пружины в матрасе: толкнешь любую из них, а колебаться начинают все.
Колебания сильно взаимодействующих атомов можно представить как совокупность слабо взаимодействующих волн, распространяющихся во всем объеме кристалла. «Волны» — в рассуждениях теоретиков шаг вперед по сравнению с представлением об отдельных атомах. Следующий шаг — переход от волн к частицам, точнее, к «квазичастицам». В основе этого перехода лежит идея (еще в середине 20-х годов сформулированная великим французским физиком Луи де Бройлем) о том, что каждой волне можно сопоставить частицу, энергия которой равна ε = hv = hυ/λ, где υ — скорость распространения волны, а λ — ее длина. Подчеркнем, что в интересующем нас случае речь, разумеется, идет не об истинной частице, а о некоторой фиктивной частице, которой предписана способность быть носительницей теплового возбуждения в кристалле.
В такой совокупности связанных маятников в процессе их колебаний будет распространяться множество волн различной длины. Дебай рассудил так: вместо того, чтобы описывать судьбу каждого из связанных маятников, проще проследить за распространяющимися волнами. А это можно сделать, сопоставив каждой волне, для которой характерна частота ν, некоторую фиктивную частицу, энергия которой hv. Эту не реальную, а «квазичастицу» физики называют фонон. Фотон — сгусток световой, а фонон — звуковой энергии, так как в твердом теле волна распространяется со скоростью звука. Фонон — квази, а не настоящая частица. Настоящую материализованную частицу можно было бы изъять из кристалла и поселить где-нибудь в ином месте, например в ином кристалле. А квазичастица существует лишь как возбуждение в твердом теле, а значит, удалить ее из кристалла нельзя. Она ведь не частица, она — придуманная теоретиком квазичастица. Она как бы не частица, а способ выражаться. Квазичастица — одно из фундаментальных представлений, лежащее в основе современной квантовой теории твердого тела. К образу квазичастицы физики-теоретики прибегают при описании практически всех свойств твердых тел: и тепловых, и электрических, и магнитных [1].
Вернемся, однако, к фононам. Так как в логике теоретиков фононы пришли на смену слабо взаимодействующим волнам, тепловую энергию кристалла можно считать суммой энергий отдельных фононов. Итак, у истока рассуждений — реальный кристалл, в конце рассуждений — газ свободных «квазичастиц». Это особый газ, существенно отличающийся от обычного классического газа. Дебай, создавая теорию газа, состоящего из фононов, учел температурную зависимость их свойств.
