Аналогичным образом построена задача о двух детях. Некто говорит: у меня двое детей. По крайней мере один из них - мальчик. Значит, другой - либо мальчик, либо девочка. Какова вероятность того, что второй ребенок - мальчик? Соображаем: в среднем девочек столько же, сколько и мальчиков. Следовательно, сразу же напрашивается ответ: вероятность будет равна 50%. Мы столь быстро склоняемся к такому ответу в силу его симметричности.

Однако правильный ответ мы получим, продумав все возможные комбинации в семье с двумя детьми.

Один ребенок всегда старше, другой моложе. Значит, возможны случаи ДСММ, МСДМ, МСММ, но невозможна комбинация Дс Дм, так как один ребенок является мальчиком по условию задачи. Среди трех возможных случаев лишь в одном второй ребенок - тоже сын, и соответственно вероятность этого составляет 33%. В 66% случаев второй ребенок будет девочкой, если только первый - определенно мальчик.

Математик Юден посвятил кривой Гаусса хвалебный гимн, придав тексту гимна форму такой кривой

Еще затруднительнее следующий вопрос: вы ищете величину А, заключенную между 90 и 110. Ее значение вам неизвестно. Требуется определить число, для которого ошибка в обе стороны будет минимальной (то есть симметричной). Вам, конечно, хотелось бы назвать число 100, так как оно находится посередине между 90 и ПО, но вы не доверяете себе, ибо есть основания полагать, что эта величина неверна (такое решение кажется слишком простым). Чтобы вычислить правильное значение, воспользуемся условием: ошибка сверху и снизу должна быть одинакова. Значит,

х-90/90 = 110-х/110

(х-90)110-(110-х)90,

110х - 9900 = 9900 - 90x + 90x + 9900,

200x = 19 800,

x=99

От 90 до 99 ошибка составляет 10%, и 11 от 110 тоже отвечает 10%-ной ошибке. Неожиданность полученного результата вытекает и из определения понятия «ошибка», и из нашей склонности обращаться к симметричным значениям.

«ТЫ ДОЛЖЕН ЦЕЛИКОМ ОТДАТЬ СЕБЯ ИСКУССТВУ!»

Это требование, естественно, выдвинуто не вполне всерьез. Пожалуй, лишь очень немногие действительно беззаветно отдаются искусству (любому его виду). Непременной предпосылкой к тому является профессиональное мастерство в музыке, литературе, живописи или какой-либо иной сфере искусства, далеко превосходящее уровень таланта. А если гений, отдаваясь своему искусству, способен еще и одерживать успехи на поприще экономики, то это означает, что он посвятил себя не только искусству. (Это не столько упрек, сколько констатация факта.)

Фраза об искусстве, которому ты должен себя целиком посвятить, - и слова, и музыка, на которую они положены, - принадлежит Йозефу Гайдну. Для нас этот его канон интересен с точки зрения симметрии. Это место из Гайдна, как и другие примеры, касающиеся симметрии в музыке, мне сообщил Йохен Глезер.

В теории музыки (основах композиции) известны различные симметрические формы. Простейший случай - обращение интервала. Оно исходит из звуковой последовательности (то есть мелодии), которая испытывает зеркальное отражение в плоскости, параллельной средней линии нотного стана, так что направления музыкальных интервалов изменяются на обратные. Если мелодия (звуковой ряд) оригинала повышается, то в обращении она понижается на такой же интервал, и наоборот. Искусство композиции состоит в том, чтобы с помощью этого формального изменения направления создать осмысленную мелодию, которая прослушивалась бы еще и в обращенном виде.

Музыкальные отражения. a - пример музыкального обращения интервалов, зеркальная плоскость параллельна нотной линейке; б - так строится ракоходное отражение: в - так строится ракоходное отражение с обращением; г - канон Гайдна, в котором встречаются все формы отражений в музыке. Кроме того, его можно петь в прямом и обратном направлении

Вольфганг Амадей Моцарт сочинил свою знаменитую фортепианную сонату ля-мажор с вариациями на одну музыкальную тему. Это не давало покоя композитору Максу Регеру, который придумал еще 8 вариаций на ту же тему, и среди них одну в обращенной форме.

Другой вариант зеркального отражения в музыке более понятен для немузыканта. В этом случае зеркальная плоскость ориентирована перпендикулярно к нотным линейкам. Отраженные ноты кажутся такими, какими они действительно выглядели бы в зеркале. Начиная от зеркальной плоскости оригинал проигрывается в обратном направлении. Такое зеркальное нотное письмо носит название «ракоходное», по ассоциации с обыкновением раков пятиться назад.

Опытные музыканты способны еще к тому же обратить и ракоходную часть пьесы. При этом в зеркальной части снова меняется направленность звукового ряда по высоте. Понижающаяся мелодия ракоходной части становится повышающейся, и наоборот. Человек, не столь искушенный в музыке, едва ли еще сможет распознать, как связан с оригиналом дважды по-разному отраженный мотив.

И наконец, бывает еще и зеркальный вариант ракоходного отражения, когда нотный лист тоже как бы ставится на голову, - и в таком виде эту музыку поют или играют. (А какая экономия бумаги!)

Так вот, Йозеф Гайдн в своем каноне применяет различные способы отражения основной мелодии: ракоходное отражение, ракоходное отражение с обращением интервала и зеркальное ракоходное отражение. Самое удивительное, что в результате мы слышим не кошачий концерт, а (как всегда у Гайдна) благозвучную мелодию.

Как-то в телевизионной передаче я наблюдал за двумя участниками, бегло говорившими в обратном направлении. Собственно, это распространенный среди школьников тайный язык (На Руси таким языком-перевертышем пользовались офени - торговцы вразнос - и бурсаки. - Прим. перев), когда «оволс аз оволс» перевертывается задом наперед. Но в данном случае привлекало внимание то, что мелодия исполнялась «в правильном направлении», а весь текст о «малышке Гансике» - в зеркальном. О такой возможности не подумал даже Гайдн. Если бы в его распоряжении находились шесть таких телезвезд, то он мог бы поручить им повторно пропеть каждую из шести его мелодий с зеркальным произнесением текста. Тем самым он задал бы работу 12 певцам, из них 11 воспроизводили бы либо текст, либо мелодию в зеркальном отражении.

ОПЕРАЦИИ СИММЕТРИИ (СИММЕТРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ) В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

1. Вращение вокруг оси. Возможны повороты только на 60, 90, 120 и 180°.

2. Отражение в зеркальной плоскости.

Операции симметрии

3. Совместное вращение и отражение.

4. Скользящее отражение. При этом узел решетки испытывает одновременно отражение и некоторое смещение.

Операции симметрии

5. Винтовые оси обусловливают поворот на 60, 90, 120 или 180° и одновременно смещение (трансляцию) узла решётки вдоль оси вращения. Возможны левые и правые винтовые оси.

ЧЕМ МЕДЛЕННЕЕ, ТЕМ БОЛЬШЕ

Наша шкала (абсолютных) температур носит имя английского физика лорда Кельвина (1824-1907). Прежде чем стать бароном, он был просто Уильямом Томсоном. Томсон, лорд Кельвин, выполнил основополагающие исследования в области термодинамики и учения об электричестве. Однако нас интересуют рассуждения Томсона о возникновении кристаллов. Ведь кристаллы не просто существуют от века в неизменном виде. Они должны зарождаться и расти. Томсон продумал вопрос о том, где и как образуются кристаллы, и установил, что они развиваются путем осаждения из растворов. Сахар в виде крупных кристаллов - так называемый кандийский сахар - кристаллизуется из водных растворов, графит - из жидкого железного расплава. Кристаллы льда - при замерзании воды.

Бывают и твердые жидкости (вспомните о стекле). Из твердых растворов тоже могут возникать кристаллы. Однако они образуются не только из растворов, но и из газов или паров при непосредственном переходе вещества из газообразного состояния в твердое. В таких случаях говорят о сублимации, или возгонке. Из прозрачного зимнего воздуха выпадает кристаллический иней, оседающий на кустах и деревьях. Стекла автомобилей за ночь покрываются льдом, хотя никаких признаков появления жидкости перед тем не наблюдалось.