Сокращенно все перечисленные правила можно записать в следующей таблице или матрице истинности (р, q означает любые высказывания, И — истинность, Л — ложность, Щ — конъюнкцию).
Нетрудно увидеть, что эта таблица исчерпывающе и абсолютно четко определяет значение оператора (т.е. связки «И»). Во-первых, она однозначно устанавливает качество «истинность» или «ложность» составного высказывания при любых возможных сочетаниях истинности или ложности двух исходных высказываний. Во-вторых, она позволяет определять качество составного высказывания при любом числе исходных (лишь бы известна была истинность или ложность каждого).
Исходные выс каэы-вання
«о а 3Н мО <и 3 кЯ
3
* й О к у в
Р
я
рАЯ
И
И
И
Л
И
Л
и
л
Л
л
л
л
Например, пусть дана цепочка конъюнкций из 3-х высказываний pAqAr со значениями истинности соответственно И ИЛ, Тогда первая часть этого сложного высказывания pAq будет истинна (по таблице конъюнкций ИИ дает И). Последняя же часть ложна (по таблице сочетаний ИЛ дает Л), Значит, все высказывание в целом будет ложно.
Такие же определения с помощью матриц истинности можно построить и для остальных операторов.
р
я
РАЯ
Р^Я
Р~Я
р
я
и
и
и
и
и
Л
Л
л
и
и
и
л
и
л
и
л
и
Л
Л
Л
и
л
л
л
и
и
и
и
Из этих свойств логических связок можно получить разнообразные правила вывода. В частности, такие случаи, при которых составное высказывание всегда будет истинным.
Примером может служить закон упрощения. Он записывается так:
(Р А Я)-+Р
и читается: при всяком р и q, если р и q, то р. Проверим его с помощью таблицы для любых возможных комбинаций истинности и ложности высказываний /?, q.
ИИ и лил и л л л л л
Отсюда видно, что такое соотношение высказываний всегда обеспечивает истинный вывод.
Р Я РАЯ (рля)-*р
И
И
И
И
Приведем еще несколько подобных же законов:
1. Закон противоречия:
не [р А (не — р)].
2. Закон исключенного третьего:
р \/(не — р).
3. Законы тавтологии:
(р Л р) ~Р; (pVp)~p.
4. Коммутативные законы:
(рЛ<7)~(<7Лр); (р v<7)~(<7 Vp).
5. Ассоциативные законы:
[Р Л (<7 Л /■)] ~ [Р A q) Л г].
[р V fa V 0] — Кр V g)V г].
Другие правила вывода — это правило отделения и правило подстановки.
Первое из них закрепляется следующей формулой:
[(Р-»?)ЛР] -+q.
Пример: «Если х — положительное число, то 2хтоже положительное число; х — положительное число.» Если оба этих высказывания истинны, то истинно и высказывание (вывод), что «2дс— положительное число».
Второе правило (подстановки) разрешает заменять в сложном высказывании одни составляющие его высказывания другими, если при этом форма (структура) сложного высказывания останется без изменений. Так, например, из высказывания «если х— положительное число, то 2х — положительное число», следует, что «если 2х не положительное число, то х тоже не положительное число».
Структура этого вывода такова:
(р я) ■* (я •* р).
Заменим теперь высказывание р («х — положительное число») на высказывание ру («сегодня понедельник»), а высказывание q («2jc — положительное число») заменим на q \ так чтобы сохранялось отношение импликации («завтра вторник»). Если подставим эти высказывания на места р и q соответственно формуле, то получим:
Из высказывания «если сегодня понедельник, то завтра вторник», вытекает, что «если не завтра вторник, то не сегодня понедельник».
Нетрудно заметить, что это высказывание также истинно, как исходное, из которого оно получено путем подстановки.
Отсюда же видно, что (как и в случае силлогизма) истинность выводного высказывания не зависит от содержания исходных высказываний, а только от их истинности или ложности и характера связи между ними. Значит, вывод опять представляет результат определенных формальных операций над высказываниями. Так что мы имеем здесь определенную логику, которую можно назвать логикой высказываний.
Теоретическое, дедуктивное доказательство, таким образом, состоит в применении правил вывода к высказываниям, истинность которых была либо дана предварительно, либо установлена. «Несколько точнее полное доказательство может быть охарактеризовано следующим образом. Оно состоит в построении цепи высказываний, обладающих такими свойствами: начальными членами являются высказывания, предварительно уже принятые за истинные; все последующие члены могут быть получены из предшествующих посредством правил вывода; и, наконец, последним членом является высказывание, которое требуется доказать».
Между прочим, автор этого определения известный логик А. Тарский отмечает, «какую чрезвычайно элементарную форму, с точки зрения психологической, приобретают все математические рассуждения благодаря знанию и применению законов логики и правил вывода; сложные умственные процессы целиком могут быть сведены к выполнению таких простых требований, как внимательное соблюдение положений, ранее принятых за истинные, учет структурных, чисто внешних соотношений между этими положениями и выполнение механических видоизменений согласно предписаниям правил вывода».
К сожалению, именно психологически дело обстоит далеко не так просто. В действительности мышление никогда не протекает, как «выполнение механических видоизменений» высказываний «согласно предписаниям правил вывода». С этой точки зрения, логика не описывает фактического протекания теоретического мышления. Она лишь формулирует его основы — те отношения суждений и высказываний, на которые оно опирается. Как любая абстракция, как всякая идеальная модель, логика представляет теоретическое мышление таким, каким оно должно было бы быть, если бы в нем не действовали никакие факторы, кроме логических отношений, выраженных в своем предельно полном, строгом и сознательном виде.
Фактически это, конечно, не так, да и не может быть так, потому что мыслит не мышление, а человек. Поэтому на протекание даже самого теоретического мышления всегда влияют разнообразнейшие человеческие факторы: привычки и предрассудки, ожидания и установки, чувства и желания и т.д. Да и само протекание мышления происходит с самыми разными степенями сознательности и развернутости.
В частности, почти никогда дедуктивное мышление и доказательство не протекают в голове в виде цепочек полных силлогизмов. Главная посылка умозаключения, устанавливающая общее положение, на основе которого делается вывод, обычно не формулируется «в уме», а часто и вообще не сознается.
«Это число без остатка делится на 3, потому что сумма составляющих его цифр делится на 3». «Кит — млекопитающее. Следовательно, он дышит легкими». «Натрий входит в первую группу таблицы Менделеева. Значит, он одновалентен» и т.п. В такой форме протекают обычно дедуктивные умозаключения фактически.
Нетрудно заметить, что большие посылки, которые представляют общее правило, общий закон, общее положение, дающие основание для указанных заключений, это: «Все числа, сумма цифр которых делится без остатка на 3, сами делятся на 3 без остатка», «Все млекопитающие дышат легкими», «Все элементы, которые входят в первую группу таблицы Менделеева, являются одновалентными». Однако, именно эти предпосылки заключения не формулируются. Их истина подразумевается. Но сами они как бы остаются за кулисами.
