Существенность признаков может выступать и как инвариантность отображаемых ими отношений между различными предметами, явлениями или их элементами.

Первыми на это обратили внимание гештальтисты. С их точки зрения, существенные признаки — это общие отношения между различными предметами (явлениями) или их элементами. Так, например, существенные признаки треугольника — это отношение между его частями (состоит из трех отрезков, замкнут, сумма всех углов равна 180° и т.д.).

Соотношение элементов предмета или явления называют его структурой. Отсюда понятие представляет собой отображение определенной структуры предметов или явлений.

Разные предметы, явления и ситуации при различных конкретных свойствах могут иметь одинаковые структуры. Это составляет основу общности понятий. Так, например, понятие «млекопитающие» отображает определенную структуру некоторого множества организмов: есть четыре конечности, скелет, головной и спинной мозг, молочные железы и т.д., но не конкретную форму этих частей организма, которая у разных млекопитающих может быть очень различна (сравним, например, конечности у кита, собаки и человека). Аналогично самые разные предметы могут иметь структуру шара или цилиндра, сочетаться разными способами в группы с определенным количеством объектов и т.д. Отсюда широчайшая общность соответствующих математических понятий.

Структуры представляют одну из форм отношения отношений. В одних случаях эти структуры имеют значение для выполнения предметами определенных функций. А в других — несущественны для этих функций.

Так, например, если взять функцию размножения, то для млекопитающих существенно выкармливание детенышей. Для перемещения им необходимы конечности. Соответственно, молочные железы, четыре конечности являются структурными признаками млекопитающих, существенными для указанных функций. А вот наличие волосяного покрова является с этой точки зрения несущественным признаком. Аналогично, ассоциативность существенна для выполнения сложения нескольких чисел. А то, что сумма иногда имеет большую величину, чем слагаемые, несущественно для этих целей. Значит, существенность признака зависит от того, с точки зрения какой функции он рассматривается. Признаки, необходимые для реализации определенных функций, называют функциональной структурой предмета или явления. Отсюда следует, что понятия выделяют и закрепляют функциональные структуры вещей и явлений. Так, например, линейка, используемая для измерения, относится к множеству предметов, которые обозначаются понятием «измерительные приспособления». Та же линейка, используемая для проведения прямых отрезков, попадает в категорию «чертежных приспособлений». А если линейка употребляется, чтобы отшлепать нерадивого ребенка, она уже включается в объем совершенно другого понятия — «орудие наказания» и т.д.

Значит, образование новых понятий не обязательно связано с обнаружением новых вещей. Оно связано с выявлением структурных свойств, существенных для выполнения теми же вещами какой-нибудь новой функции (или, наоборот, для осуществления «старой» функции новыми вещами). Следовательно, новые понятия закрепляют обнаруженные новые функциональные структуры вещей и явлений. Так, например, распространение операции вычитания на случаи типа (2 — 5) закрепляется в понятии «отрицательных чисел». Структурные черты осуществления функции размножения без слияния мужских и женских половых клеток закрепляются понятием «партеногенеза» и т.п.

Суть этого процесса — повышение степени организованности информации, полученной из внешнего мира. При этом под повышением организованности понимается такая перестройка психического содержания, благодаря которой оно объединяется и расчленяется в структуры наиболее простые, целостные, компактные, замкнутые, устойчивые во времени, законченные и однородные.

Отсюда видно, что в отличие от значений понятия не «выводятся из опыта», а изобретаются, конструируются, чтобы достичь максимальной организации имеющейся информации в соответствии с поставленной задачей.

Причем, какие признаки структуры становятся главными, зависит от выделяемой функции предметов или от задачи, которую требуется разрешить с их помощью.

Соответственно, такой путь называют инвентивным образованием понятий. Практически он заключается в использовании уже имеющихся знаний с новой точки зрения для выработки новых классификаций объектов, отыскивания новых способов решения новых задач и т.д.

О том, что такой путь образования понятий действительно существует, свидетельствует вся история науки. Время от времени в ней, как поворотные пункты, возникают новые понятия, которые позволяют по-новому взглянуть на все факты, накопленные в определенной области знаний. Такие понятия перестраивают структуру всей этой области знаний, организуют и объединяют факты и понятия, которые до того казались разрозненными и самостоятельными. Такими «изобретениями» были, например, понятия «инерции», «энергии», «дифференциала», «интеграла» и др.

Как же осуществляется инвентивное образование понятий? Исследования показывают, что это может достигаться:

1. Переходом на другую ступень организации, когда ранее самостоятельные совокупности становятся частями более широкого целого, или наоборот. Например, переход от понятий «млекопитающие», «птицы», «пресмыкающиеся» и т.д. к понятию «позвоночные». Нетрудно заметить, что это совпадает с процессом объединения или обобщения. Обратный процесс — расчленение или конкретизация.

2. Изменением принципа организации, когда координация (сочетание элементов внутри данной совокупности) заменяется их субординацией (подчинением) или обратно. Так, например, сначала целые и дробные числа являются для ученика равноправными самостоятельными разновидностями чисел (координация). С введением понятия «рационального числа» целые числа превращаются в частный случай дробей, т.е. становятся видовым понятием, подчиненным более общему родовому понятию дробного числа (субординация). Такой процесс называют центрированием, а обратный ему — децентрированием.

3. Перецентрированием, т.е. выдвижением в качестве существенных тех элементов, которые были второстепенными, и обратно. Так, например, при переходе от понятия тождественных треугольников к понятию подобных, размеры соответственных сторон становятся второстепенным, а размеры соответствующих углов — главным признаком объединения.

Напомним, что «вещами», с которыми имеют дело понятия, являются идеальные объекты, а именно значения, т.е. идеальные отражения определенных общих свойств вещей и явлений. Поэтому, когда говорят, что в понятии закреплены закон связи, правило порождения, способ «изготовления» определенных объектов, речь идет фактически о способах построения идеальных объектов, о существенных отличительных признаках этих идеальных объектов, о структурах и функциях идеальных объектов.

Так, например, в природе не существует такого самостоятельного объекта, как «окружность». В природе есть круглые предметы. Общая им всем форма закреплена в значении слова «круг». А «окружность»? Этот термин фиксирует уже определенное понятие: «геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки (О), называемой центром».

Значения «круглый», «круг» могут быть обнаружены сопоставлением множества реальных округлых предметов, которые мы видим на каждом шагу: колеса автомобилей, стекла очков на носу прохожего, пуговицы на его пальто, циферблат электрических часов на столбе и т.д. Значение слов «круг», «круглый» мы как бы видим во всех этих вещах. Но, как справедливо отмечает А.И. Ракитов, геометрическое место точек, отвечающее определению окружности, вы не сможете увидеть даже в самый сильный микроскоп.

Все дело в том, что понятие «окружность» относится уже не к вещам, а к значениям слов «круг», «круглый». В нем, в понятии «окружности», раскрывается и фиксируется то, что определяет форму всех кругов, то, что делает их кругами.

Нетрудно заметить, что то же самое можно переформулировать по-другому, сказав, что приведенное понятие фиксирует и раскрывает существенные свойства формы «круга», структуру его формы, инвариантные отношения его элементов, способ построения «круга», условия, при которых существует «круг» и т.д.