А раз зафиксировали, то вот Вами средство: решайте задачи по культуре мышления обязательно всех типов, дабы помочь преодолеть трудности прямыми (буквенные задачи) и косвенными методами (остальные 6 типов задач). Вам ведь нужны гарантии, невозможные без комплексных методов (все 7 типов).

5.5. Четвертый тип задач. Абстрактные последовательности

Можно предложить еще и другие названия: задачи на сравнение или последовательности отношении. Итак, в первом квадрате пишем - абстрактное неравенство, например: Иа больше Ио, во втором - Ие меньше Ио. Третий квадрат для ответа на вопрос: «Кто больше всех?» Четвертый - Кто меньше всех?» А пятый - «Кто средний?»

Таких задач можно придумать бесчисленное множество, меняя каждый раз абстрактные имена (Иа, Ио, Ие) или вид неравенства. Можно также увеличивать количество неравенств и имен. Для поддержания интереса стараюсь «расцвечивать» имена: Хи-Хи, Ха-ха, Хо-хо, Гы-гы и так далее.

Наблюдение первое. При смене имен часто не обращают внимания на идентичность задач. Например, в предыдущей задаче вместо Иа поставим Ха-ха, вместо Ио - Хи-хи, а вместо Ие - Хо-хо.

Вам видно сходство, а ему - нет. Потому что количество параметров, за которым он в состоянии уследить при определении сходства, недостаточно для решения этой задачи.

Наблюдение второе. Их удивляет разнообразие имен, ибо сами они не владеют принципами, необходимыми для их придумывания. Для специалиста хочется сказать больше: принципами порождения нового, операцией присвоения имени. Я удивлялся такому удивлению, задумываясь над их стандартным вопросом:

- А Вы сами придумываете такие имена? А задачи?.. А где Вы такие имена берете?

В конце года некоторые переступили через этот барьер, но не все и не сразу. Об этом можно было судить по задачам, которые они придумывали.

Наблюдение третье. Можно сказать: удивление третье. Получив задачу, спрашивают:

- Кто такой Иа?

Поскольку я смеюсь в ответ или пожимаю плечами, говоря: «Не знаю», - спрашивать перестают, но, судя по неверным ответам, вопрос этот продолжает кое-кого интересовать. Значит, каждый раз эти ребята пытаются решить такую задачу не как учебную, а как конкретную, и поэтому для облегчения решения придумывают, по-видимому, фактических существ с такими именами.

Наблюдение четвертое. Не все могут решить эту задачу. Тем более не все воспринимают объяснение этой задачи в большом коллективе. Этот тип задач требует индивидуальной проработки с учителем и поиск индивидуального метода объяснения, что может потребовать упрощения до такой задачи.

И такая задача может оказаться не по плечу. А если так, то с нее и надо начинать. Таким детям еще до школы наверняка была непонятна другая, более конкретная задача:

- Комар больше слона. Кто больше?

Ответ традиционный: «Слон», потому что пока ребенок не в состоянии отрешиться от реальных жизненных отношений, в которых слон все-таки больше. Образы слона и комара помогали решить эту задачу. Иа и Ио образов не имеют. Остались одни отношения. А по одним отношениям могут судить только дети с развитым теоретическим мышлением. Не случайно этот тип задач использовался психологами для тестирования уровня развития теоретического мышления.

Наблюдение пятое. Очевидное. Имеется сильнейшая корреляция между неумением решать абстрактные последовательности неравенств и другими типами задач. Говоря проще: кому не по силам задача на сравнение, тому не по силами другие типы задач.

Известны варианты усложнения этих задач: «Иа ТПРК-атее, чем Ио. Ио ТПРК-атее, чем Ие. Кто ТПРК-атее всех? Кто самый неТПРК-атый? Кто средний?»

Какими названиями или обобщающими словами мы пользуемся в этом типе задач? Хотя бы - «задача, сравнение, неравенство». Этого на первое время, на наш взгляд, достаточно.

Дети, не умеющие решать этот тип задач, должны сталкиваться с большими трудностями при освоении математики, так как математика требует овладения обобщенным представлением о неизвестном (типа X, У, 2).

5.6. Пятый тип задач. Сравнительные последовательности

Так мы назвали задачи на сравнение объектов, элементов и систем. Можно предложить еще одно название: философские последовательности. Приведу типичный пример этого типа задач.

- Ребята! В 3-м и 4-м квадратах напишите краткие ответы на вопрос: «Чем похожи лебедь и орел?» А в последующих квадратах 5 7- чем отличаются.

Формулировка вопросов постепенно трансформируется!

1. Чем похожи? Чем отличаются?

2. Что общего? Что различного?

3. Найдите общие элементы. Найдите различные элементы.

На каждом этапе трансформации - одни и те же заблуждения, по-видимому, одна и та же детская логика, отличающаяся в корне от нашей, взрослой.

Это легко продемонстрировать. Большинство ребят считают общим то, что они птицы! То есть они, фактически, сначала не умеют выделять элементы, а затем проводить поэлементное сравнение. Найти общее для них означает не найти общие элементы, а найти общий класс объектов, куда они входят как частные случаи. Попробуйте с таким неконструктивным подходом научиться сравнивать какие-либо задачи: получится, что Вы заметите, например, что обе задачи чисто тригонометрические, но не заметите общности метода решения. Сколько же задач при таком восприятии надо решить, чтобы обобщить метод решения, чтобы впоследствии новые и неизвестные задачи сводить к совокупности известных эталонных задач.

- Ребята, у лебедя есть глаза?

— Есть.

- Ау орла?

- Тоже.

- Как Вы думаете, это общие элементы или различные? Это то, чем они похожи, или чем отличаются?

- Глаза - это общие элементы.

- Запишем.

Обобщающее слово «гонцы», конечно, надо писать слева. Сколько ни говори, кто-то рядом со словом «глаза» напишет «птицы». Конечно, это не случайно и не специально. Они так и думают. Это не трудно проверить - ставишь рядом ученика и ученицу и спрашиваешь:

- Что у них общего? Найдите общие элементы.

Ребята смущаются, класс хихикает, но сказать иной раз не могут. Приходится подсказывать, как в случае с лебедем и орлем:

- Глаза у них есть? —Есть.

- Так что же общего?

А, ну тогда у них много общего, места не хватит для записи: и шея, и руки, и волосы, и нос... - Запишите.

И опять рядом с каким-нибудь общим элементом у кого-то появится еще один «общин» элемент - «школьники», хотя слово это должно быть записано слева!

Познавательный эффект таких задач очевиден. Убеждаемся в этом по вопросам: «А что такое рожь?.. А я лебедя никогда не видел!.. А рожь - это сорняк?..»

Такие задачи нес ложно придумать. Сложнее найти убедительные ответы. Поэтому иногда этот тип задач мы и называем философскими последовательностями, так как они требуют обобщающего, философского взгляда на мир, на элементы, на системы. Не всегда очевидно - куда отнести какой-то элемент: к общим или различным? С философской точки зрения, любое общее включает в себя различное и наоборот. Так что глазами, например, они похожи и глазами же отличаются - глаза у них разные. Куда писать? В конце концов, с точки зрения выделения элементов это не так важно, однозначно важнее другое: обобщающие слова должны быть слева. Не забывайте после объяснения проверять усвоение.

И опять - смешно (дети смеются!), а потом -грустно это уже нам): в элементы опять попадают «существа, животные». А глаза как элементы (Как подсистемы) никак не найти.

Еще раз отметим важность этого типа задач: без умения грамотно выделять элементы (подсистемы) резко обедняется количество параметров сравнения, то есть опять выходим на уровень развития теоретического мышления, а следовательно, и на тесную взаимосвязь с другими типами задач и трудностями их решения. В частности, очевидна показательность количества обобщающих слов слева и в этой задаче.

5.7. Шестой тип задач. Геометрические последовательности

Это тоже задачи на сравнение. В этих задачах чисто геометрическими средствами задается какой-то закон изменения. Задачи прежние: понять, продолжить, найти обобщающие с лова, или, другими словами, найти недостающие элементы, восстановить до целого.