В теории науки Больцано делает шаг вперед по сравнению с Декартом и Лейбницем, проводя четкое различие между изложением научного знания и наличным его бытием. Хотя ученый и не видит действительного основания такого различия, отрывая знание не только от конкретного субъекта познания, но и от человеческого рода вообще, его учение о двойственной форме существования знания позволяет ему выдвинуть ряд оригинальных идей по аксиоматизации теории вывода и доказательства.
Метод научного исследования и способ доказательства Больцано рассматривает как тождественные. Разделению предложений на предложения понятий, или априорные предложения, и созерцания, или эмпирические предложения, соответствуют у него два вида доказательств: обоснование истины и удостоверение истины. Ранее указывалось, что в целях логического определения конкретного события, эмпирического явления чешский мыслитель вводит понятие объективного созерцания-в-себе, не связанного с субъектом. Такое созерцание, выраженное в предложении, имеет форму: «Это то, что я теперь вижу, слышу и т. п.». Предложения, субъект и предикат которых состоят из созерцаний, называются предложениями созерцаний. Если одна часть предложения является созерцанием, а другие — понятиями, то такое предложение называется смешанным. Предложения, не имеющие в своем составе созерцаний, называются чистыми предложениями понятий, например «Благодарность является обязанностью», «Бог вездесущ» и т. д. Больцано проводит принципиальное разделение предложений понятий и предложений созерцаний, настаивая на единичности и неповторимости созерцаний, для которых характерна пространственно-временная определенность быть «здесь и теперь». В § 223 «Наукоучения» он подчеркивает отличие истин понятий от истин созерцаний, указывая, что истины понятий всегда находятся в зависимости от других частных понятий и никогда не зависимы от предложений или истин созерцания. Из этого следует, что эмпирическое знание, фиксируемое главным образом в предложениях созерцаний или смешанных предложениях, генетически никак не связано с понятийными истинами, или с теоретическим знанием. Обоснование возможно только для истин понятий, но не для истин созерцаний. Важнейшим условием обоснования является наличие так называемых фундаментальных, первичных и основных истин (Grundwahrheiten). Это истины, которые не являются следствием или заключением из других истин, а сами служат последним основанием для заключений.
Обоснование представляет собой выведение доказываемого предложения из посылок, которыми являются фундаментальные истины. Любой другой способ доказательства Больцано называет удостоверением истины (21, 4, 261). Очевидно, что под обоснованием он имеет в виду аксиоматически-дедуктивный метод. Чешского философа можно считать одним из основателей современного учения об аксиоматическом методе.
Во времена Больцано образцом применения этого метода считали «Начала» Евклида. Еще в своих ранних математических работах Больцано указывает недостатки евклидовской аксиоматики.
Он даже написал произведение под характерным названием «Анти-Евклид» (оно было утеряно). Развивая идеи Декарта и Лейбница, чешский мыслитель рассматривает аксиоматический метод в качестве универсального научного метода. В этом его отличие прежде всего от Канта. Последний пытается строго отделить метод математики от метода философии, или метафизики. Метод философии является, по его мнению, аналитическим, математики — синтетическим. Отношения между математическими понятиями всегда наблюдаемы, в ней оперируют наглядными символами, в философии наблюдаемость невозможна. В основании необходимых суждений математики лежит априорное, или чистое, созерцание пространства и времени. Простейшая формула «7+5=12» является априорным синтетическим суждением, полученным на основе действия чистого созерцания времени. Больцано убежден в неправомерности такого разделения доказательств в философии и математике. «Незначительно еще число философов в наши дни, — пишет он, — чье математическое знание простиралось бы дальше положения, что А равно А. Еще меньше число математиков, готовых признать, что их собственная наука может быть поднята на более высокую ступень совершенства при помощи философии, и которые согласились бы, что их наука выиграла бы, если бы удалось многие встречающиеся в ней понятия, оставляемые без всякого объяснения, как общеизвестные, разложить на их составные части и множество положений, рассматриваемых либо без доказательства, либо как очевидные, вывести из их объективных оснований, т. е. из некоторых чистых понятийных истин, которые намного более общи, чем они» (цит. по: 82, 71). Стремление создать общенаучный логический метод, пригодный и для математики, и для других дисциплин, и явилось причиной написания «Наукоучения». Согласно Больцано, «метод математики по своей сущности ни в малейшей степени не отличается от любой научной процедуры… Обсуждение математического метода является в своей основе не чем иным, как логикой, и к самой математике не относится» (16, 30).
Больцано высказывает ряд ценных идей по обоснованию и структуре аксиоматического метода. Одним из первых в истории математики, логики и философии он указывает на ошибочность и недостаточность психологического, основанного на наглядности, интуиции, математического и логического доказательств. Когда математический анализ делал первые шаги, против него с позиций психологизма и субъективного идеализма ополчился Беркли. Бесконечно малые величины, утверждал он, должны быть выброшены из математики как фикции. Того, что мы не в состоянии воспринять, не существует. На очевидность, интуицию, правда другого рода — интеллектуальную интуицию, ссылается как на средство обоснования и Декарт. Больцано показывает, что ссылка на любого рода очевидность, созерцание не может служить доказательством в научном исследовании. В небольшой самой ранней работе «Размышления о некоторых предметах элементарной геометрии» (1804) он говорит: «Прежде всего я поставил себе за правило, что никакая очевидность предложения не заставит меня считать себя свободным от обязанности добавочно искать доказательств для него до тех пор, пока я ясно не увижу, почему нельзя требовать никакого доказательства» (цит. по: 24, 40). Особенно резко выступает чешский философ против кантианской философии математики, основанной на признании априорности созерцаний времени и пространства. Предложение «7+5=12», рассматриваемое Кантом как пример априорного и синтетического суждения в математике, Больцано считает аналитическим предложением. Он стремится доказать, что сумма двух чисел получается путем чисто логической операции, без обращения за помощью к наглядности. Нелепо утверждать, что поскольку мы при сложении постепенно добавляем друг к другу единицы чисел 5 и 7, то необходимо созерцание времени. Это все равно, как если бы мы ссылались на созерцание в логической операции «сорит», где к последнему заключению приходят постепенно, шаг за шагом (см. 21, 3, 185–186. 27, 82). Субъективные условия познания не должны смешиваться с объективным его основанием. Каждое предложение в сознании имеет определенную степень ясности и отчетливости, объективный же смысл предложения не имеет этих свойств и не зависит от них. Защищая от психологизма и субъективизма основополагающие понятия математического анализа, Больцано пишет в «Парадоксах бесконечного»: «Вопрос о том, конечно ли что-нибудь или бесконечно, не может зависеть от того, имеет ли предмет, о котором идет речь, такую величину, которую мы можем воспринимать (например, от того, можем ли мы его обозревать или нет)». «Конечное и бесконечное относятся к известным внутренним свойствам предметов и никоим образом не касаются только отношений их к нашей познавательной способности, даже к нашим чувствам» (8, 7; 17).
Эти плодотворные методологические идеи, развиваемые Больцано на основе обобщения опыта математических исследований, помогли ему сделать ряд открытий в математике. Так, ученый, справедливо указывая на недостаточное обоснование в его время понятия дифференциала, сам подходит к правильному его истолкованию. Дифференциал рассматривается им как символическое выражение, подобное выражению «√—1». Метод, который использует только символические средства, является, по Больцано, логически допустимым и правильным (см. 16, 26). К сожалению, сам ученый не всегда следует собственным установкам. Полностью освободиться от смешения формального и содержательного в логике Больцано мешало отсутствие подходящей символики.
