СВОЙСТВА БЕЗРАЗЛИЧИЯ

Бросим еще один взгляд на бильярдный стол. В предыдущей главе мы показали, что наибольшим статистическим весом обладают состояния, При которых в пределах правой половины стола находятся семь, восемь или девять, то есть примерно половина шаров. Это представляется совершенно естественным. Ясно, что если на поверхности бильярда нет никаких предпочтительных областей, то шары должны распределиться по поверхности равномерно и, в частности, на половине поверхности в среднем должна находиться примерно половина шаров. Однако все это совсем не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Вспомним, что у настоящего бильярда шары нумерованы, и если бы мы потребовали, чтобы в правой половине бильярда находились, скажем, шары с номерами от 1 до 8, а, соответственно, на левой половине — шары с номерами от 9 до 16, то такое состояние реализовалось бы одним-единственным способом, его статистический вес был бы равен единице, а энтропия — нулю.Кажется, мы наконец-то начинаем понимать, в чем дело. Обнаруженные в предыдущей главе свойства бильярдного стола определяются тем, что нам совершенно безразлично, какой именно шар находится справа, а какой – слева. В расчет принимается лишь общее количество шаров. Как раз это безразличие и является причиной того, что статистический вес одних состояний оказывается на несколько порядков больше статистического веса других.Но подобное безразличие возникло опять-таки не по нашей прихоти. Уже применительно к бильярдному столу становится ясно, что, например, такое обстоятельство, как равновесие, требует, чтобы справа и слева находилось, но одинаковому количеству шаров, и никак не зависит от того, какой шар находится справа, а какой — слева. Бильярдный стол нам понадобился как модель реальных физических систем, состоящих из большого числа одинаковых молекул, в частности, объемов с газом.Макроскопические (то есть такие, которые мы можем непосредственно воспринять с помощью наших органов чувств или простейших приборов) величины, описывающие поведение газа, суть давление, объем и температура. Все так называемые газовые законы представляют собой соотношения между этими тремя величинами. Давление определяется тем, как часто и с какой силой ударяются молекулы о стенки сосуда. При этом совершенно безразлично, какая именно молекула ударяется в каком именно месте. Важно лишь среднее количество молекул, находящихся в непосредственной близости от данной области поверхности стенки, и их средняя скорость. Температура газа определяется средней скоростью движения молекул, и опять-таки для того, чтобы температура имела данное значение, совершенно несущественно, какое значение скорости имеет каждая молекула. Важна лишь средняя скорость. Наконец, объем вообще не зависит ни от количества, ни от скоростей молекул. Конечно, если он больше суммарного объема, занимаемого всеми молекулами.Все сказанное является справедливым далеко не только для бильярдных столов и объемов с газом. Всякий раз, когда мы сталкиваемся с явлениями, представляющими собой результат одновременного действия очень большого числа элементов, независимо оттого, что представляют собой элементы, в силу того что поведение каждого элемента никак не определяет явление в целом, мы описываем это явление средними значениями по всему множеству элементов. Состояния, которые определяются лишь средним значением, взятым при условии, что индивидуальность элементов совершенно не принимается во внимание, называются вырожденными. Количество способов, которым может быть реализовано такое состояние, определяет степень вырождения.Теперь мы, кажется, получили возможность сказать кое-что о сути рассматриваемых явлений. Суть состоит именно в том, что до сих пор, начиная от бильярдного стола и кончая различными физическими телами: твердыми, жидкими и газообразными, — мы имели дело с явлениями, зависящими от совместного действия чрезвычайно большого количества элементов. Большинство состояний, которые мы реально наблюдаем в окружающем нас мире, оказываются вырожденными. Соответственно, большинство законов природы представляют собой соотношения между средними величинами. Именно вырожденность состояний и определяет свойства статистического веса.Итак, свойство природы, описываемое законом неубывания энтропии, есть на самом деле свойство, состоящее в том, что большинство явлений природы сводится к вырожденным состояниям.Но так бывает далеко не всегда. Уже в следующей главе мы столкнемся с явлениями, в которых вырождение, как говорят, снимается и индивидуальность элементов начинает играть существенную роль. А пока что все сказанное следует рассматривать как своеобразное введение к тому основному, что мы собираемся поведать в этой главе.

ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНТРОПИИ

А поведать мы собираемся вот о чем. По определению, энтропия суть логарифм статистического веса. Это самое правильное определение энтропии, и именно оно встречается в большинстве серьезных учебников статистической физики.Есть, однако, второе определение, и встречается оно даже чаще первого. Согласно этому определению энтропия данного состояния физической системы определяется как величина, пропорциональная логарифму вероятности данного состояния. В качестве коэффициента пропорциональности обычно выбирают так называемую постоянную Больцмана, k, имеющую размерность эрг/°К (читается эрг на градус). Мы уже отмечали, что если пользоваться таким определением, то сама формулировка второго начала термодинамики: всякая изолированная физическая система стремится принять состояние с максимальным значением энтропии — превращается в тавтологию: всякая физическая система стремится принять наиболее вероятное состояние. Но речь пойдет не об этом.Все это представляет для нас чрезвычайно большой интерес, поскольку пока что мы договорились измерять количество информации через соответствующие значения энтропии и от способа определения энтропии непосредственным образом зависит способ определения информации. Более того, упомянутая впервой главе мера Шеннона как раз и связана с определением количества информации через вероятности отдельных состояний (сообщений) .Легко показать, что оба рассмотренных нами определения энтропии означают почти одно и то же.Для этого введем в рассмотрение время. Предположим, что среднее количество секунд, в течение которого в среднем каждый шар пребывает в пределах правой половины стола, в точности одинаково для всех шаров. Это опять-таки и есть наше основное предположение. Тогда среднее количество секунд, в течение которого бильярд пребывает в некотором данном состоянии, в точности пропорционально статистическому весу данного состояния. Вероятность же данного состояния, по определению, есть предел отношения среднего времени, в течение которого система пребывает в данном состоянии, к полному времени наблюдений, когда полное время наблюдений стремится к бесконечности. Переменная величина может быть сколь угодно близка к своему пределу, но все же не равна ему. Именно поэтому мы и говорим, что приведенные выше два определения энтропии означают почти одно и то же. Почти — в смысле близости истинных значений величины к ее пределу. Каким же определением следует пользоваться?Если задача состоит в том, чтобы в процессе анализа явлений природы проводить различные вычисления с использованием значения энтропии, то, безусловно, имеет смысл использовать определение энтропии через вероятность (вероятности), поскольку это дает возможность использовать хорошо развитый к настоящему времени и очень удобный аппарат теории вероятностей. Такие вычисления будут приближенными, однако степень приближения всегда может быть проконтролирована.Более того, для таких, к примеру, систем, как объем с газом, содержащих огромное количество элементов (молекул), можно сразу утверждать, что разница между статистическим весом, поделенным на полное число способов, которыми реализуется любое состояние, и вероятностью будет меньше любой разумной величины,Иное дело, когда цель состоит в том, чтобы объяснить некоторое физическое явление, вскрыть его причину или механизм, лежащий в его основе. Пусть, например, мы хотим объяснить тот факт, что давление газа на все стенки сосуда, в который он заключен, одинаково. Разделим мысленно сосуд на две части и проведем все те же рассуждения, которые мы проводили применительно к двум половинкам бильярдного стола. Мы видим, что большую часть времени сосуд будет находиться в состоянии, когда в обеих его частях находится примерно одинаковое количество молекул. Значит, и среднее количество ударов молекул о стенки в единицу времени (а это и есть давление) будет одинаковым в обеих частях. Но возможны и отклонения от этого общего правила (флюктуации), которые действительно наблюдаются в природе.Рассуждая с вероятностных позиций, мы лишь заменяем одно слово (одинаковое давление) другим словом (равновероятность). Вероятностные представления не позволяют нам также объяснить механизм возникновения флюктуации.Прибегая к вероятностным понятиям, мы неизбежно сталкиваемся с тем обстоятельством, что само по себепонятие вероятности вытекает из другого понятия-случайности. Вопрос о том, в какой мере можно пользоваться вероятностными понятиями, сводится к другому вопросу: случаен или детерминирован окружающий нас мир, то есть снова, играет ли господь бог в кости?