В те времена кубическое уравнение не выделяли особо — все уравнения делились на типы, согласно приравниваемым элементам, что больше походило на квадратные уравнения ал-Хорезми. Именно поэтому Тарталья решил не один тип, представленный Фиоре, но и множество других кубических уравнений. Новости о победе Тартальи достигли ушей Кардано, который в конечном счете убедил Тарталью обнародовать свою тайну в обмен на рекомендательное письмо предполагаемому покровителю. Однако на встрече в Милане в 1539 году Тарталья взял с Кардано клятву никогда не публиковать решение, которое тот получил в форме зашифрованного стиха. Позднее Кардано обнаружил, что зять дель Ферро обладал оригиналом этого стиха, и получил позволение прочитать его. Он и его помощник Лодовико Феррари (1522–1565) также значительно продвинулись в поиске общего решения кубических и квадратных уравнений. Кардано отдавал должное работе Тартальи, но, узнав о том, что первым уравнение решил дель Ферро, больше не был связан обязательством хранить секрет. Тарталья был рассержен предательством и решил отомстить Феррари в собственной книге, где по-своему изложил всю историю поиска решения в виде длинного ожесточенного диалога. Он заявил, что Феррари отнял у него приоритет открытия, в то время как самого Феррари нельзя считать серьезным математиком. В 1548 году Тарталье удалось оставить свою непритязательную должность учителя математики в Венеции и получить пост лектора в Брешии. Он решил, что, бросив вызов Феррари, сможет еще больше прославиться и отомстить, но сильно недооценил помощника Кардано, так что ему пришлось бежать, не дожидаясь, пока судьи на соревновании вынесут свое решение. Для Тартальи все это имело весьма неприятные последствия — власти Брешии отказались платить ему заработную плату. Он возвратился в Венецию, где и продолжил преподавание математики.
В отличие от Тартальи, бедняка, постоянно искавшего покровителей, Кардано удалось достичь известности и сколотить небольшое состояние. Кардано был настоящим сыном своего времени — математиком, врачом, астрологом, игроком и еретиком. В течение почти пятнадцати лет его отказывались принимать в медицинский колледж, якобы из-за того, что он был незаконнорожденным, но, скорее всего, из-за его репутации откровенного и неуживчивого человека. Он был настолько азартен в игре, что почти разорился, однако ему удалось наладить процветающую частную медицинскую практику, а в 1543–1552 годах Кардано читал лекции по медицине в Милане и Павии. Затем его вызвали в Шотландию лечить архиепископа Сент-Эндрюсского. По возвращении он получил звание профессора медицины в университете Павии благодаря известию о выздоровлении архиепископа. Однако его карьерным успехам помешали серьезные семейные проблемы. Он не смог спасти своего любимого старшего сына от казни по обвинению в отравлении жадной и скупой жены. Ее семья потребовала от Кардано совершенно грабительской компенсации. В результате ему пришлось покинуть Павию и стать профессором в Болонье. Затем его младший сын обокрал дом отца, чтобы заплатить долг за проигрыш. На сей раз рассерженный Кардано сообщил о сыне властям, и тот был выслан. У Кардано в Болонье почти не было друзей, а в 1570 году ученый был арестован за ересь — он составил гороскоп Иисуса Христа и восхвалял императора Нерона. Удивительно, но впоследствии ученый обосновался в Риме, и папа согласился выплачивать ему пенсию. Тяга Кардано к игре подрывала семейный бюджет, но она же, скорее всего, дала ему богатый материал для написания книги по теории вероятности. Его автобиография — откровенное повествование об удивительной жизни на пороге математической революции.
Успешный штурм кубического уравнения, предпринятый Кардано, был, по существу, геометрическим «дополнением до полного куба», аналогичный методу дополнения до полного квадрата. Однако описание метода было выдержано все еще в стиле ал-Хорезми, с длинными риторическими объяснениями и уверенностью, что кубические уравнения следует разбить на несколько групп, поскольку отрицательные коэффициенты все еще не считались допустимыми. Преобразовывая более сложные кубические уравнения в более простые разрешимые типы, Кардано смог вырваться на шаг вперед по сравнению с дель Ферро и Тартальей. Кардано также заметил, что иногда промежуточные шаги в решении требовали вычисления квадратного корня из отрицательного числа. Сталкиваясь с этими сложными числами, он выказал определенную интеллектуальную брезгливость. Считая подобные ответы бессмысленными, он все же не отвергал их полностью. В одном случае он зашел достаточно далеко и понял: при умножении того, что мы теперь называем комплексным числом, получается реальное число. Он описал условия, при которых кубическое уравнение имеет комплексные решения, но не стал исследовать эти новые типы числа. В 1572 году Рафаэль Бомбелли (ок. 1526–1572) издал трактат «Алгебра», в котором расширил область чисел, дополнив их квадратными и кубическими корнями, а также комплексными числами. Он также сделал решающий шаг в алгебраическом решении геометрических задач и наоборот, но, к сожалению это не было замечено современниками, поскольку значительная часть его работы была опущена и издана только в двадцатом веке.
В Европе развитие алгебры шло бок о бок с использованием новых индо-арабских цифр. В 1494 году монах Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», который считают первой книгой по алгебре. Трактат Пачоли все еще представляет собой смесь риторических и алгебраических объяснений (это называют синкопированием). Неизвестное в уравнении часто называлось на латыни «cosa» («вещь»), а затем — в онемеченном варианте — «coss». После появления книги «Die Coss», написанной знаменитым «счетным мастером» Адамом Ризе (1492–1559), в Германии в XVI веке стало быстро развиваться так называемое «коссическое искусство». В то время впервые появились многие символы, которые мы сегодня считаем алгебраическими. Знаки «+» и «-» пришли в математику из Германии, знак «=» — из Англии. В целом переход от риторической алгебры через различные виды синкоп к стандартизированной и однозначной символической алгебре занял несколько сотен лет. Серьезной проблемой была, например, роль степеней выше третьей. Поскольку алгебраические методы полагались на геометрические доказательства, а измерений свыше третьего не существовало, казалось неразумным приписывать какое-либо значение четвертой или более высоким степеням. Важность этой проблемы подчеркивали сами термины, которые использовали для обозначения таких степеней. Четвертая степень числа обычно упоминается как «квадрат квадрата». В середине XVI века Роберт Рекорд чувствовал необходимость чем-нибудь подкрепить свое стремление к использованию более высоких степеней. Он объяснял, что площадь квадрата, стороны которого также квадраты некоего числа, — это число, возведенное в четвертую степень, и, следовательно, называется «квадратом квадрата».
Отход от чисто геометрического подхода начался с публикации «Геометрии» Рене Декарта (1596–1650). Эта важная работа была всего лишь приложением к основополагающему труду Декарта «Рассуждение о методе» (1637) (полное название «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках») и нередко выбрасывалась из последующих переизданий. Декарт писал «Рассуждение…», чтобы изложить философию науки, которая позволит получить знания о Вселенной вещества и движения. А правильное описание Вселенной на языке математики требовало, чтобы сам этот язык «базировался на надежном фундаменте». Несмотря на то что приложение называлось «Геометрия», по существу, оно знаменовало брачный союз алгебры и геометрии, появление дисциплины, которая теперь называется аналитической геометрией. В сущности, она доказывает эквивалентность геометрических построений и алгебраических преобразований. Кривые в ней описываются уравнениями. Декарт также перестал оценивать степени как числа, а не как геометрические объекты: х2 больше не обозначало площадь — оно стало числом, возведенным во вторую степень, его геометрическим эквивалентом была парабола, а не квадрат.
