Увлечение Варахамихиры именно астрологическими построениями объясняется его общей идейной позицией. По словам Бируни, он «временами высказывался заодно с брахманами, к которым принадлежал и тесное общение с которыми было для него неизбежно». Иное дело Арьябхата — он последовательно разрабатывал проблемы астрономии (хотя вряд ли можно говорить о четком водоразделе между научной астрономией и астрологией применительно к индийской древности), был знаком, как показывает его труд, с античной астрологией (соотносит дни недели с определенными созвездиями), но сколько-нибудь серьезного внимания этим сюжетам не уделял.
Математическая часть трактата Арьябхаты, также содержащая немало плодотворных мыслей, получила высокую оценку его преемников в стране и за ее пределами. В ней изложены правила решения отдельных задач по арифметике, геометрии, тригонометрии, теории чисел, даются первое в Индии описание процесса извлечения квадратного и кубического корней и несколько задач на линейные уравнения с одним неизвестным, формулируются приемы решения в целых числах неопределенного уравнения первой степени.
Ученому было всего 23 года, когда он писал свою «Арьябхатию». О его дальнейшей судьбе, к сожалению, ничего не известно, но едва ли есть основания сомневаться в том, что открытые нападки представителей брахманской ортодоксии и религиозных фанатиков сделали жизнь его трудной. «Перед лицом того, кто познал движение планет из моего труда, — писал Брахмагупта, — последователи Арьябхаты… не дерзнут выступать публично и будут вести себя как антилопы перед пастью льва», т. е. сторонники традиционных идей уподобляются льву, который легко может расправиться с атнилопой, олицетворяющей собой защитников взглядов Арьябхаты. Наверное, осуждались и искажались не только его воззрения, но и содержание его трудов. Они, подобно сочинениям локаятиков, сознательно замалчивались, не переписывались. Отношение ортодоксальной традиции к наследию ученого напоминает отношение ведантистов к локаяте, к рационалистическим идеям санкхьи и вайшешики. Бадараяна, Шанкара и другие решительно боролись с концепциями этих школ, приписывали им чуждые идеи, упрекали в примитивизме и безнравственности, резко критиковали за отход от священных текстов — вед и шрути, апеллировали к авторитету брахманских «законов» — шастр.
В конце VIII в. «Арьябхатия» была переведена на арабский язык под названием «Зидж аль-Арджабхар»; на этот перевод неоднократно ссылался Бируни. Через арабских ученых отдельные идеи Арьябхаты стали достоянием европейских математиков. Астрономические и математические проблемы получили дальнейшее развитие в сочинениях Брахмагупты (родился в 598 в Бхилламале — ныне Бхинмал в Раджастхане). Его перу принадлежат «Брахмаспхута-сиддаханта»(628 г.) и «Кхандакхадьяка» (665 г.). В этих трактатах наряду с математическими главами имеются и большие астрономические разделы, в которых рассматриваются вопросы о форме неба и земли, об определении времени, о затмениях Луны и Солнца, о соединении и противостоянии светил, о лунных стоянках, о среднем и правильном положении планет, о сфере, об инструментах и т. д.
Выдающимся достижением индийской науки было создание десятичной системы счисления, которой ныне пользуются во всем цивилизованном мире. Еще в древнейшие времена это отразилось в названиях числительных, при образовании которых применялись принципы сложения и вычитания: 19 можно было назвать и навадаша (девять-десять) и эвауна-вимшати (без одного двадцать). Для первых нумераций использовались цифры письменности кхарошти (записывались справа налево), а начиная с III в. до н. э. стали употребляться цифры письменности брахми (слева направо). В обеих нумерациях было немало общего: для обозначения чисел до сотни применялся принцип сложения, а для больших чисел он сочетался с принципом умножения. Особенностью системы брахми, ставшей основой создания современной нумерации, было наличие специальных знаков для первых девяти цифр.
Одновременно в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел; этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскрит, имеющий много синонимов. Нуль, например, назывался словами «пустое», «небо», «дыра»; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы» и т. д. В текстах III–IV вв. число 1021 передавалось как «луна — дыра — крылья — луна».
Производить арифметические действия по такой системе было затруднительно, и она служила лишь для записи больших чисел в математических и астрономических сочинениях. Излишняя громоздкость ее потребовала замены, и Арьябхата стал использовать алфавит, предложив записывать цифры санскритскими буквами. В целях окончательного оформления системы счисления необходимо было ввести знак нуля для обозначения отсутствующего разряда.
Одно из самых ранних зарубежных сообщений об индийской десятичной системе относится к VII в. Сирийский епископ Север Себох отмечал: «Я не стану касаться науки индийцев… их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков».
Современная арифметика, несомненно, индийского происхождения. От созданной индийцами системы обозначения чисел происходит наша нумерация. Они первыми разработали условия арифметических действий, основанные на этой системе нумерации. В сочинениях V в. встречаются многочисленные задачи на простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило смешения, проценты.
Тройное правило (трай-рашика — букв. «три места») заключалось в нахождении числа х, составляющего с тремя данными числами — а, Ь, с — пропорцию. Его знали уже египтяне и греки, но индийцы выделили его в специальный арифметический прием и разработали схемы, позволяющие применить его к задачам, содержащим несколько величин, связанных пропорциями. Брахмагупта и позднейшие авторы добавили обратное тройное правило и правило 5, 7, 9 и 11 величин. Из Индии эти правила распространились в страны Ближнего Востока и далее в Европу. Ряд задач имел непосредственно практическое значение. Искусство математиков ценилось высоко. По словам Брахмагупты, «как Солнце затмевает своим блеском звезды, так и ученый может затмить славу других в общественном собрании, предлагая и тем более решая математические задачи».
В алгебре крупнейшим достижением индийских математиков явилось создание развитой символики, гораздо более богатой, чем у греческих ученых. В Индии впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин, свободного члена уравнения, степеней. Символами служил первый слог или буква соответствующего санскритского слова. Неизвестную величину называли яват-тават (столько-сколько), обозначая слогом «я (йа)». Если неизвестных было несколько, то их называли словами, выражающими различные цвета: колика (черный), нилака (голубой), питака (желтый), панду (белый), лохита (красный), — и обозначали слогами — ка, ни, пи, па, ло. Иногда неизвестное заменялось знаком нуля, поскольку первоначально в таблицах пропорциональных величин для него оставлялась пустая клетка.
Тот же принцип использовали и применительно к арифметическим действиям. Сложение обозначалось знаком ю (юта — сложенный), умножение — гу (гунита — умноженный), деление — бха (бхага — деленный), вычитание — точкой над вычитаемым или знаком + справа от него (например, «отнять 3» записывалось так: 3 или 3+).
Начиная с Брахмагупты, индийские математики стали широко оперировать отрицательными величинами, трактуя положительное число как некое имущество, а отрицательное — как долг. Брахмагупта описывал все правила действия с отрицательными числами, хотя ему не была известна двузначность при извлечении квадратного корня. Впрочем, математик IX в. Махавира писал: «Квадрат положительного или отрицательного — числа положительные, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными». Это показывает, что Махавира уже ставил вопрос об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что данная операция невозможна.
