Чтобы лучше понять, как это работает, представьте, что вы хотите измерить площадь поверхности сферы, заворачивая ее в проволочную сетку. Если проволока состоит только из одной петли, то, натянув ее на сферу, вы едва ли получите хорошую оценку для площади. Однако если взять не одну, а четыре треугольные петли, соединенные в форме тетраэдра, охватывающего сферу, аппроксимация будет гораздо лучше. Увеличение числа петель до двенадцати – в форме пятиугольников, соединенных в додекаэдр, или до двадцати – в форме треугольников, соединенных в икосаэдр, даст еще более точные оценки. Как и в нашем примере, слагаемые степенного ряда бета‑функции также носят название петель. Взяв только первое слагаемое ряда, вы получите однопетлевую бета‑функцию, взяв первые два – двухпетлевую и т. д.
Добавление новых петель к проволочной сетке приводит к следующей проблеме: расчеты бета‑функции, которые и без того чрезвычайно сложны, при возрастании числа петель становятся еще сложнее, и объем вычислений многократно возрастает. Расчеты показали, что первые три слагаемых степенного ряда, как и было предсказано ранее, равны нулю – что весьма обнадежило физиков. Однако в статье 1986 года Маркус Грисару, физик, в настоящее время работающий в Университете Макгилла, и двое его коллег, Антон ван де Вен и Даниэла Занон, обнаружили, что четырехпетлевая бета‑функция в нуль не обращается. Последовавший за этим расчет, выполненный Грисару и его коллегами, показал, что пятипетлевая бета‑функция тоже не равна нулю. Это открытие стало заметным ударом по позициям, занимаемым в физике многообразиями Калаби‑Яу, поскольку из него следовало, что метрика данных многообразий не приводит к сохранению конформной инвариантности.
«У меня, как у сторонника теории струн и суперсимметрии, наши результаты вызвали некоторое беспокойство, – говорит Грисару. – Мы, конечно, были счастливы, что эти результаты в некоторой степени прославили нас, но слава разрушителя прекрасного здания – это далеко не то, чего можно желать каждому. Впрочем, мое мнение о науке заключается в том, что нужно смириться с теми результатами, которые ты получил».[85]
Однако не все еще было потеряно. В статье, выпущенной в 1986 году Дэвидом Гроссом и Виттеном, работавшими тогда в Принстоне, было показано, что, несмотря на то что для риччи‑плоской метрики многообразий Калаби‑Яу конформная инвариантность действительно не соблюдается, эту метрику можно слегка изменить так, чтобы бета‑функция, как и требовалось, обратилась в нуль. Подобная «настройка» метрики проводится не за один, а за бесконечное число корректировок, или квантовых поправок . Но в подобных случаях, когда поправки представляют собой бесконечный ряд, неминуемо возникает вопрос: сойдется ли этот ряд в конце концов к искомому решению? «Может ли выйти так, что, сведя воедино все поправки, никакого решения вы не получите?» – задается вопросом Плессер.
В лучшем случае небольшое изменение метрики приведет к незначительному изменению решения. К примеру, нам известно, как решать уравнение 2x=0 , его ответом является x=0 . «Если теперь я захочу решить уравнение 2x=‑0,1 , то обнаружу, что ответ изменился весьма несущественно (x=‑0,05 ), – что является для меня оптимальным вариантом», – поясняет Плессер. Уравнение x2=0 также не вызывает особых затруднений (вновь x=0 ). «Но если я попытаюсь решить уравнение x2=‑0,1 , то обнаружу, что оно попросту не имеет решения, по крайней мере, в действительных числах, – говорит он. – Итак, вы видите, что небольшое изменение параметров может привести как к тому, что решение лишь немного изменится, так и к тому, что оно вообще исчезнет [например, для вещественных чисел]».[86]
Как было установлено Гроссом и Виттеном, для исправленного многообразия Калаби‑Яу последовательный ряд поправок сходится. Они показали, что, если почленно исправлять метрику Калаби‑Яу, в результате возникнет сложнейшее уравнение, которое тем не менее можно решить. При этом все петли бета‑функции устремятся к нулю.
После этого, по словам Шамита Качру из Стэнфорда, «вопрос о том, чтобы полностью отбросить многообразия Калаби‑Яу, уже не стоял; теперь достаточно было только слегка их модифицировать. И, поскольку изначально не существовало возможности записать метрику Калаби‑Яу, необходимость ее небольшого преобразования не стала чем‑то особо удручающим».[87]
Дальнейшее развитие идей о способах преобразования метрики Калаби‑Яу основано на появившейся в том же году работе Денниса Немесчанского и Ашока Сена, в то время работавших в Стэнфорде. Полученное в результате исправления многообразие топологически оставалось многообразием Калаби‑Яу, а его метрика – почти риччи‑плоской, хотя и не совсем. Немесчанский и Сен вывели точную формулу, показывающую степень отклонения модифицированной метрики от риччи‑плоского случая. Их работа, совместно с работой Гросса и Виттена, «помогла сохранить многообразия Калаби‑Яу для физики, поскольку без них пришлось бы прекратить исследования в целой области», – утверждает Сен. Более того, по словам Сена, без первого допущения о том, что многообразия Калаби‑Яу, фигурирующие в теории струн, являются риччи‑плоскими, добраться до окончательного решения было бы невозможно. «Если бы мы начали с метрики, не являющейся риччи‑плоской, сложно даже представить, при помощи каких методик мы получили бы исправленный вариант».[88]
Я полностью согласен с Сеном, хотя и не считаю, что допущение о риччи‑плоской метрике многообразий Калаби‑Яу после этого стало бесполезным. Можно рассматривать многообразие Калаби‑Яу с риччи‑плоской метрикой как решение уравнения x2=2 . При этом уравнение, которое нужно решить, – это x2=2,0000000001 , поскольку, как уже было сказано, искомое многообразие является почти, но не точно риччи‑плоским. Для того чтобы получить модифицированную метрику, существует только один способ – начать с решения уравнения x2=2 и уже от него двигаться в требуемом направлении. При этом в большинстве случаев решение уравнения x2= 2 служит весьма хорошим приближением. Кроме того, риччи‑плоская метрика, как правило, является простейшей для использования и охватывает подавляющее большинство явлений, интересующих ученых.
Следующие существенные шаги в вопросе восстановления в правах многообразий Калаби‑Яу были сделаны Дороном Гепнером, в то время постдоком в Принстоне, на протяжении нескольких лет, начиная с 1986 года. Гепнер разработал несколько конформных теорий поля, каждая из которых в рамках соответствующих физических понятий обладала потрясающим сходством с описаниями отдельных многообразий Калаби‑Яу определенного размера и формы. Изначально Гепнер обнаружил, что физика, относящаяся к его теории поля, – включая определенные симметрии, поля и частицы, – имеет тот же вид, что и физика струны, движущейся в определенном многообразии Калаби‑Яу. Это привлекло его внимание, поскольку связь между двумя столь, казалось бы, несвязанными вещами, как конформная теория поля и многообразия Калаби‑Яу, казалась поистине сверхъестественной.
Одним из тех, кто проявил чрезвычайный интерес к этой новости, стал Брайан Грин – в то время мой гарвардский постдок, специалист в области математических обоснований многообразий Калаби‑Яу, закончивший докторскую диссертацию по этому предмету и, кроме того, имевший солидную подготовку в области конформной теории поля. Он тут же связался с учеными с физического факультета, также работавшими в области конформных теорий, в том числе с двумя аспирантами – Роненом Плессером и Жаком Дистлером. Дистлер и Грин начали совместное исследование корреляционных функций , связанныхс конформной теорией поля и соответствующим многообразием Калаби‑Яу. Корреляционные функции в этом случае включали в себя так называемые «взаимодействия Юкавы», определяющие взаимодействия частиц между собой, в том числе и такие взаимодействия, которые наделяли частицу массой. В статье, представленной весной 1988 года, Дистлер и Грин объявили, что корреляционные функции – или взаимодействия Юкавы – для конформной теории поля и соответствующих многообразий Калаби‑Яу численно совпадают, что стало еще одним подтверждением их тесной взаимосвязи, если не сказать больше.[89] Гепнер пришел к аналогичному выводу относительно совпадения величин взаимодействий Юкавы в статье, поданной в печать вскоре после этого.[90]
