даже от допущения о том, что эти «объекты», или «эле-
менты», удовлетворяют законам алгебры (хотя я и
В приложении к этой статье я хочу -сделать заме-
считал, что это имеет место). Поэтому я попытался по-
чания в отношении истории вопроса и несколько заме-
строить систему, включавшую только аксиомы «мет-
чаний по поводу аксиоматических систем ^исчисления
рического» характера. Другим стимулирующим факто-
вероятностей.
ром являлось стремление создать такую теорию, в ко-
Различение между субъективной, логической и объ-
- торой формула (4), упомянутая в прим. 1 к настоящей
ективной (статистической) интерпретациями вероят-
статье, то есть
ности, которое я провел в 1934 году в моей книге [12, с. 148—150], часто использовалось для обоснования
р(а,сс)=1,
тезиса о том, что по крайней мере в физике имеет
была бы теоремой. Эта формула, как оказалось, яв-
смысл только статистическое понятие вероятности.
ляется критерием адекватности для логической интер-
(Ныне я бы заменил в этом тезисе термин «статистиче-
претации, и она вообще желательна в силу некоторых
ская интерпретация» на «интерпретация в терминах
общих соображений.
предрасположенности».) Однако в этой же книге я ис-
Первая система такого типа была сформулирована
пользовал в значительной степени также и логическую
мною в работе [6]. Я упростил ее аксиомы в 1956 году
интерпретацию вероятности (в частности, для того что-
(см. [7, соответствующая система аксиом приведена
бы показать, что «содержание=логической невероят-
на с. 191]). Эта упрощенная система и некоторое число
ности»). В 1938 году я выдвинул аргументы в пользу
ее вариантов детально обсуждались в [12, прил. *IV].
«формальной» теории вероятностей, основывающейся
Здесь я приведу еще один из ее вариантов
на некоторой системе аксиом, «конструируемой таким
4 . В этой си-
стеме в качестве неопределяемых терминов исполь-
образом, чтобы имелась возможность... интерпретиро-
- зуются: класс 5 «объектов», или «элементов», а, Ь, ...; вать ее при помощи любой из до сих пор предложен-
элемент-произведение ab элементов а и Ь; элемент-до-
ных интерпретаций... а также с помощью еще некото-
рых других интерпретаций» [12, с. 320]. Анализируя
•полнение α элемента а.
эти интерпретации с точки зрения потребностей истол-
Система включает три аксиомы5.
кования квантовой теории, я предложил интерпретацию
вероятности в терминах предрасположенности. К тому
4 По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332], настоя-
щая система в аксиоме В сочетает А2, В1 и В2, а С в ней есть
же я установил, что ранее [12, с. 212] я явным образом
утверждение Cs, сформулированное в [12, с. 334].
возражал против такой интерпретации.
5 Мы будем использовать следующие сокращения: «(х)» вместо
По моему мнению, свобода оперирования с различ-
«Для всех элементов χ из S», «(Ел;)» для «существует по крайней ме-
ными интерпретациями вероятности тесно связана с
Ре один элемент χ из S, такой, что», «... -^...» для «если... то...»,
*·«-*·» для «если, и только если» и «&» для «и».
принятием формального, или аксиоматического, подхо-
58*
435
434
Постулат А. Если а и b — элементы S, то р(а, Ь) —
ленные слева направо. Определение Cd, которым мож-
действительное число и выполняется следующая ак-
но заменить CD, свободно от этого недостатка6: сиома:
Cd p (ä, b) = p(c, с)—p (a, b) -ι—ν (Ed) p (с, с) Φ p (d, b).
А (Ее) (Ed) p (а, Ь)Фр (с, а).
В определении BD можно подставить «р(е, е)» вме-
сто второго вхождения «p (а, а) ». (При этом A3 из
Постулат В. Если а и b — элементы S, то ab — эле-
[12, с. 332] становится выводимой из BD.) В этом Слу-
мент S, и при условии, что с (следовательно, be) и а
чае можно упростить CD и Cd, записывая «р(а, а)»
также являются элементами S, выполняется следующая
вместо «р(е, е)» или «р(с, с)».
аксиома:
По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332] т
В (р(а,а) = р (be, d) &p (be, c) = p(d, с)) — -
постулаты В и BD включают в себя А2. Наличие в си-
стеме А2 вместе с любой из других аксиом имеет то
- >· p (ab, с) = р(а, d) p (b, с) < p (a, c).
преимущество, что получающаяся в результате система
является «полностью метрической» в том смысле, что
Постулат С. Если α — элемент S, το α — также эле-
независимость всех ее аксиом можно доказать при по-
мент S, и при условии, что Ь, с и d также являются
мощи примеров, удовлетворяющих законам булевой
элементами 5, выполняется следующая аксиома: алгебры. (Таким образом, «полная метричность» яв-
С ρ (α, α) Φ ρ (Ь, с) - > ρ (а, с)-\-р (a, c)--=p(d, d).
ляется более сильным свойством, чем «автономная не-
зависимость» в смысле [12, с. 343—344].) Полностью·
Аксиомы В и С являются непосредственными след-
метрическую систему можно получить, не жертвуя при
ствиями (используются только подстановка и modus этом «органичностью» (в том смысле этого термина, в-
ponens) следующих более сложных формул BD и
котором он использовался в польской логической шко-
CD, которые, однако, имеют то важное преимущество, ле) наших аксиом, если сохранить все аксиомы (в том
что они могут рассматриваться как явные определения
числе В1 из [12, с. 332]), за исключением А2. Действи-
соответственно произведения ab и дополнения а. (Фор-
тельно, аксиома А2 органически . включается в В2 при
мула BD представляет собой улучшенный вариант со-
помощи, например, исключения «^р(а, с)» из форму-
ответствующей формулы из [12, с. 336]): лы В. Можно также сохранить В2 в се первоначальной
форме и органически включить А2 в постулат АР [12, BD p (ab, d) = p (с, d) ^=* (el (E/) (p (a, d) ^
с. 333] следующим образом:
^p(c,d)^p (b, d) &.(p (a, d)^p (a, a) < АР p(a) = p(a,b)—p(a,c)-{-p(a,d)
при условии, что p(b,c)=p(c, b)=p(d, e) для каждого
е из S.
< ρ (d, /) - > p (a, a) < p (e, /))) — >·
6 Причиной этого является то обстоятельство, что Cd логически
сильнее С, поскольку оно позволяет заменить А логически более сла-
- - p(a,e)p(b,d) = p ( c , d ) ) ) .
бой условной формулой. При наличии Cd к А можно добавить ого-
ворку: «при условии (Ee)(Ef)p(e, /)=^0» (или в словесной формули-
CD p (a, d) = p (b, d) ч=^ (e) (p (c, d) Φ
ровке: «при условии, что не все вероятности равны 0»). Своей логи-
ческой силой Cd обязано тому факту, что при наличии стрелки только
Φ p (с, с) -- >- p (а, с) -\-р (b, c) = p (с, е)) .
справа палево оно было бы эквивалентно С, тогда как наличие стрел-
ки слева направо позволяет дополнительно вывести H3*Cd, что не все
С эстетической точки зрения оба этих определения
вероятности равны 0.
страдают некоторой громоздкостью — ровно половина
Следует отметить, что условие В в том виде, в каком оно сфор-
двойных стрелок является излишней. При выведении
мулировано в тексте, можно заменить (более сильным) условием
