Эксперимент с буквами объясняет, почему в повседневной жизни так много замечательных совпадений. Всякий раз, когда случается совпадение и оно кажется сверхъестественным, то с точки зрения человека, сведущего в статистике, его отнюдь нельзя считать невероятным. Во множестве событий, происходящих за день, то или иное совпадение может произойти миллионами различных способов. Поскольку характер совпадения заранее не определен, оно не более удивительно и не менее вероятно, чем появление какой-то серии цифр в десятичном разложении числа π или какого-то осмысленного слова в случайной последовательности букв. Когда совпадение происходит, оно кажется слишком невероятным для того, чтобы быть случайным. При этом мы забываем о том, что на одно совпадение приходятся миллиарды возможных совпадений, которые могли бы произойти, но так и не произошли.
Странные скопления
Совпадения случаются даже в колоде перетасованных карт. Например, почти всегда вы обнаружите скопление из шести-семи красных или черных карт.
Взглянув в телескоп, вы обнаружите скопление звезд. Горошины, брошенные на поверхность стола, рассыпаются не равномерно, а собираются в кучки. Старая поговорка гласит: «Беда не приходит одна».
Тенденция случайных событий «скапливаться» — явление хорошо известное, и его теории посвящены целые книги. Серия из семи троек в десятичном разложении числа π — лишь один из примеров случайного скопления. Если вы будете бросать монету или вращать колесо рулетки, записывая каждый раз исход бросания или выпавший номер и цвет, то без труда обнаружите, что аналогичные примеры довольно длинных серий встречаются с удивительной частотой.
Поразительный эксперимент по изучению скоплений был предложен инженером из Мичиганского университета А. Д. Муром. Свой эксперимент Мур назвал «нонпарельной мозаикой» (небольшие конфетки в виде разноцветных шариков, с которыми Мур проводил свой опыт, называются нонпарелями). Засыпьте в бутыль из прозрачного стекла поровну круглых бусин красного и зеленого цвета.
Встряхнув бутыль, перемешайте шарики. Если вы посмотрите на бутыль сбоку, то увидите не однородную смесь красных и зеленых бусин, как можно было бы ожидать, а красивую мозаику из довольно крупных скоплений красных бусин вперемежку с крупными скоплениями зеленых бусин. Скопления имеют неправильную форму. Образуемая скоплениями мозаика настолько неожиданна, что даже математики, когда впервые видят ее, считают, что одноцветные шарики слипаются вследствие какого-то электростатического эффекта. В действительности мозаику формирует случай. Узор из красных и зеленых пятен не более чем проявление случайного скапливания.
Если вам трудно в это поверить, попробуйте провести следующий простой эксперимент. На листе бумаги в клеточку начертите квадратную рамку размером 20 клеток на 20. Затем раскрасьте каждую клетку в красный или зеленый цвет, выбирая цвета в зависимости от исхода бросания монеты. Раскрасив все 400 клеток, вы увидите такую же мозаику из красных и зеленых скоплений, какая видна через стенки бутыли.
При образовании скоплений в игру нередко вступают нематематические факторы. Если за автомашинами, случайным образом распределенными на шоссе, вы будете наблюдать с вертолета, то увидите, что они распределяются вдоль шоссе неравномерно, образуя скопления. Реально наблюдаемое скопление сильнее случайного, поскольку водитель стремится не пропускать вперед машины, движущиеся примерно с той же скоростью, и прибавлять скорость на свободных участках дороги. «Пятнистость» в расположении городов на карте, дождливых дней в календаре, куртин клевера и других дикорастущих растений на лугу и т. д. обнаруживает более сильную тенденцию к скоплению, чем та, которая объясняется только игрой случая.
Поразительный карточный фокус
Перед вами удивительный парадокс, связанный с теорией скопления. Разложите колоду карт так, чтобы карты черных и красных мастей чередовались.
Разделите колоду на равные части, убедившись при этом, что нижние карты в каждой половине различных цветов.
Перетасуйте колоду. Для этого, отогнув вверх углы каждой из частей колоды, отпускайте по одной карте поочередно из каждой части так, чтобы карты ложились внахлест, после чего подровняйте все карты, не тасуя.
Снимая по две карты сверху, вы обнаружите в каждой паре по одной красной и по одной черной карте, словно не вы своими собственными руками делили колоду на две части и не тасовали их внахлест!
Этот замечательный карточный фокус — пример того, как скрытая математическая структура, вступая в игру, порождает скопления, кажущиеся загадочными и непонятными. Фокусники называют положенный в его основу трюк принципом Гилбрейта в честь первооткрывателя — математика и большого любителя фокусов Нормана Гилбрейта, придумавшего его в 1958 г. С тех пор на основе принципа Гилбрейта фокусники-профессионалы изобрели не одну сотню хитроумнейших карточных фокусов.
Докажем по индукции, что принцип Гилбрейта действует безотказно. Итак, колода делится на две части. В одной части снизу оказывается черная карта, в другой — красная. После того как при тасовании внахлест на стол падает первая карта, в обеих частях колоды снизу оказываются карты одного цвета. Если первой на стол упала красная карта, то обе нижние карты черные. Если первой на стол упала черная карта, то обе нижние карты красные. Следовательно, независимо от того, какая из нижних карт упадет второй, поверх первой карты на столе непременно ляжет карта другого цвета. Итак, в первую пару карт на столе войдет одна красная и одна черная карта.
После того как на стол сброшены две первые карты, мы возвращаемся к исходной ситуации: снизу в одной части окажется черная карта, в другой — красная. Какая бы из них ни упала на стол, снизу двух частей снова будут две карты одного цвета, поэтому и во вторую пару на столе непременно войдет одна красная и одна черная карта, после чего все опять повторится сначала.
Если вы захотите показать кому-нибудь этот фокус, то сначала вам необходимо подготовить колоду так, чтобы черные и красные карты чередовались.
Попросите кого-нибудь из зрителей сдать на стол по одной карте примерно половину колоды (после того, как зритель положит на стол верхнюю карту, нижние карты в обеих частях колоды заведомо будут различного цвета), а затем, взяв одну часть колоды в правую, а другую в левую руку, сбросить карты по одной на стол так, чтобы они легли внахлест.
Держа «перетасованную» колоду под столом так, чтобы ее не видели ни зрители, ни вы сами, объявите зрителям, будто вы можете на ощупь определять 164 цвет карт, и «в доказательство» начните выкладывать на стол карты парами — по одной красной и одной черной. Для этого вам необходимо лишь каждый раз брать по две карты сверху.
Можно ли обобщить принцип Гилбрейта и положить более широкий вариант в основу новых карточных фокусов? Попробуем проделать следующую процедуру. Подготовим колоду так, чтобы карты шли четверками — по одной карте каждой масти, например в последовательности ПЧБТ, ПЧБТ, ПЧБТ и т. д. (П — пики, Ч — червы, Б — бубны, Т — трефы).
