В 5 из 6 случаев игрок может заявить: «У меня туз», но второй туз у него будет лишь в одном случае из 5. Следовательно, вероятность того, что у игрока имеется второй туз, равна 1/5.
В трех случаях игрок может заявить: «У меня туз пик». Лишь в одном из этих трех случаев у него имеется второй туз. Следовательно, вероятность того, что у игрока есть второй туз, равна 1/3. Заметим, что партнеры должны заранее условиться, какой масти туз их интересует, а также о том, кто будет объявлять, если ему попадется избранный туз. Без этих оговорок задача может стать неопределенной.
Чей кошелек толще?
Профессор Смит однажды обедал вместе с двумя студентами-математиками.
Профессор Смит. Хотите сыграть в новую игру? Каждый из вас выкладывает кошелек на стол.
Выигрывает тот, в чьем кошельке денег окажется меньше, и получает все деньги из другого кошелька.
Джо. Если у меня денег больше, чем у Джилл, то она выиграет и мои деньги достанутся ей. Если же у нее денег больше, чем у меня, то выиграю я. Следовательно, я выиграю больше, чем могу потерять. Эта игра для меня выгоднее, чем для Джилл.
Джилл. Если у меня больше денег, чем у Джо, то он выиграет и мои деньги достанутся ему. Если же у него денег больше, чем у меня, то выиграю я. Следовательно, я выиграю больше, чем могу проиграть. Эта игра для меня выгоднее, чем для Джо.
Может ли одна и та же игра «быть выгоднее» для каждого из двух партнеров? Ясно, что не может. Не возникает ли парадокс из-за того, что каждый игрок ошибочно полагает, будто его шансы на выигрыш и проигрыш равны?
Этот забавный парадокс заимствован из книги французского математика Мориса Крайчика «Математические развлечения». У Крайчика речь идет не о кошельках, а о галстуках:
Каждый из двух лиц утверждает, что его галстук красивее. Чтобы решить спор, они обращаются к третейскому судье. Победитель должен подарить побежденному сбой галстук в утешение. Каждый из спорщиков рассуждает следующим образом: «Я знаю, сколько стоит мой галстук. Я могу проиграть его, но могу и выиграть более красивый галстук, поэтому в этом споре преимущество на моей стороне». Как может в одной игре с двумя участниками преимущество быть на стороне каждого из них?
Игра, о которой поведал читателям Крайчик, честная, если мы с помощью некоторых дополнительных предположений четко и однозначно сформулируем правила игры. Так, если мы располагаем сведениями о том, что один из игроков имеет при себе меньшую сумму денег, чем другой, или имеет обыкновение носить дрянные галстуки, то игру нельзя будет считать честной. Но если мы не располагаем подобной информацией, то вполне допустимо предположить, что каждый из игроков имеет при себе некую случайную сумму денег — от нуля до некоторого максимального предела, например до 100 долларов Если, исходя из этого предположения, мы построим, как это сделано в книге Крайчика, матрицу платежей, то увидим, что игра «симметрична» и ни один из игроков не имеет преимущества.
К сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика. Книга Крайчика ничем не может нам помочь, а других работ, посвященных этой игре, насколько известно, не существует.
Принцип безразличия
Есть ля жизнь на Титане, самом крупном из спутников Сатурна?
Если на подобные вопросы вы с равной вероятностью отвечаете как утвердительно, так и отрицательно, то это означает, что вы слепо следуете «принципу безразличия». Необдуманное применение этого принципа не раз заводило многих математиков, физиков и даже великих философов в тенета абсурда.
«Принцип недостаточного основания», который экономист Джон Мейнард Кейнс в своем «Трактате по теории вероятностей» переименовал в «принцип безразличия», можно сформулировать следующим образом: если у нас нет веских причин считать нечто истинным или ложным, то это «нечто» мы с равной вероятностью можем считать как истинным, так и ложным.
Принцип безразличия имеет долгую и славную историю. Его применяли в столь разных областях человеческого знания, как естествознание, этика, статистика, экономика, философия, психология. При неправильном применении этот принцип приводит к парадоксам и прямым логическим противоречиям. Французский астроном и математик Лаплас однажды, воспользовшись принципом безразличия, вычислил вероятность того, что завтра утром взойдет солнце, и получил 1826214:1!
Посмотрим, какие противоречия возникают, если воспользоваться принципом безразличия при ответах на вопросы о жизни на Титане. Какова вероятность того, что на Титане есть жизнь? Применив принцип безразличия, мы получим, что эта вероятность равна 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших растений? И на этот вопрос принцип безразличия дает ответ: 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших животных? Ответ снова гласит: 1/2. А какова вероятность того, что на Титане нет ни простейших растений, ни простейших животных? По законам теории вероятностей мы должны умножить 1/2 на 1/2 и получить 1/4. Следовательно, вероятность того, что на Титане есть какая-то жизнь, повысилась до 3/4 вопреки прежней оценке, равной 1/2.
В приведенном выше примере к абсурдным результатам принцип безразличия приводит в сочетании с некоторым дополнительным допущением. Мы молчаливо предполагали, что события, заведомо не являющиеся независимыми, независимы. В свете теории эволюции вероятность существования разума на Титане зависит от существования на нем низших форм жизни.
Приведем еще один поучительный пример неосторожного применения принципа безразличия — парадокс со спрятанным кубом. Предположим, что вам сообщили: «В кладовке спрятан куб с длиной ребра от 2 до 4 см». Поскольку у вас нет оснований предполагать, что длина ребра куба меньше или больше 3 см, вам лучше всего принять ее равной 3 см. А каков объем спрятанного куба? Он должен быть заключен в пределах от 23 = 8 до 43 = 64 см3. Поскольку у вас нет оснований считать, что объем куба меньше или больше 36 см3, вам лучше всего принять его равным 36 см3. Иначе говоря, по вашим лучшим оценкам, ребро куба имеет длину 3 см, а объем куба составляет 36 см3. Странный какой-то куб, вы не находите?
Иначе говоря, применив принцип безразличия к оценке длины ребра спрятанного куба, вы получаете куб с длиной ребра 3 см и с объемом 27 см3. Применив тот же принцип к оценке объема куба, вы получите куб объемом 36 см3 и длиной ребра, равной (36)1/3 примерно = 3,30 см.
