302. Одного взгляда на помещенный здесь рисунок достаточно, чтобы заметить, что если я отрежу часть 1и помещу ее на место части 2, то получится прямой отрезок стены BC, отмеченный пунктиром и в точности равный участку AB. Следовательно, не правы были оба спорщика, и цена обоих участков должна быть одинаковой. Конечно, читатель сразу заметит, что это справедливо лишь при некоторых ограничениях, но мы имеем в виду именно ту стену, какая нарисована, и в том случае, когда эти ограничения выполнены.
303. Отмерьте любое удобное расстояние вдоль берега от Aдо C, скажем 40 м. Затем отмерьте любое расстояние в перпендикулярном направлении до точки D, скажем 12 м. Теперь сделайте засечку Eв направлении AB. Вы сможете измерить расстояние от Aдо B, которое в нашем случае равно 24 м, и от Eдо C, что даст 16 м. Далее, AB: DC= AE: EC, откуда ясно, что ширина реки ABравна 18 м.
304. Свинья пробежит 66⅔ м и будет схвачена, а Пэт пробежит 133⅓ м. Кривую [40], которую опишет при этом Пэт, можно измерить точно. Ее длина равна an 2/( n 2- 1), где скорость свиньи принята за 1, Пэт бежит в nраз быстрее и a — первоначальное расстояние между Пэтом и свиньей.
305. Расстояние от верхнего конца до земли составляет ⅘ длины всей лестницы. Умножьте расстояние от стены (4 м) на знаменатель этой дроби (5), и вы получите 20. Теперь вычтите квадрат числителя дроби ⅘ из квадрата ее знаменателя. При этом получится 9 = 3 2. Наконец, разделите 20 на 3, и вы получите ответ: 6
м.
306. Высота шеста над землей составляла 50 м. В первом случае он сломался в 29 м, а во втором случае в 34 м от верхушки.
307. Длина свободно висящей веревки равна 3 м 85½ см.
308. Разумеется, прямая ACне является наибыстрейшим путем. Быстрее будет доехать от Aдо Eи далее прямо до C. Путь, требующий наименьшей затраты времени, показан на рисунке пунктирной линией от Aдо G(ровно 1 км от E) и затем прямо до C.
Необходимо, чтобы синус угла FGCбыл в два раза больше синуса угла AGH, В первом случае синус равен 6/
= 6
= 2/
. Во втором случае синус равен 1/
= 1/
, то есть ровно в два раза меньше.
309. Как видно из рисунка, головоломка невероятно проста, если знаешь, как к ней подступиться! И все же у меня нет ни малейшего сомнения, что для многих читателей она оказалась крепким орешком. Можно заметить, что каждая спичка, несомненно, касается всех остальных.
[Можно увеличить число спичек до семи, и головоломка остается все еще разрешимой. — М. Г.]
310. У посылки максимальных размеров суммарная длина веревки, идущей в длину, должна быть равна суммарной длине веревки, идущей в ширину (и суммарной длине веревки, идущей в высоту). Если это известно или читатель самостоятельно разобрался и понял, в чем дело, то остальное рассчитать очень просто. Действительно, мы знаем, что веревка 2 раза проходит в длину, А в ширину и 6 раз в высоту. Следовательно, разделив 1 м 20 см соответственно на 2, 4 и 6, мы получим 60, 30 и 20 см, а это и будет искомыми длиной, шириной и высотой посылки максимального размера.
Следующее общее решение принадлежит Александеру Фрейзеру. Пусть веревка aраз проходит вдоль ребра длиной x, bраз вдоль ребра длиной yи cраз вдоль ребра длиной z, и пусть длина всей веревки равна m.
Тогда ax+ by+ cz= m. Найдем максимум xyz.
Прежде всего найдем максимум площади xy.
Положим ax+ by= n, x= ( n- by) /a, xy= ( n/a) y- ( b/a) y 2, dxy/dy= n/a- (2 b/a) y= 0, тогда
Следовательно, axтакже равно n/2, ax= by. Аналогично ax= by= cz= m/3, откуда
В нашем случае a= 2, b= 4, c= 6, m= 360. Таким образом, x= 60, y= 30, z= 20:
311. Куб любого квадрата сам является квадратом. Например,
и т. д.
Нам было сказано, чтобы мы взглянули на рисунок. Если бы на возведение пьедестала израсходовали лишь один блок, то он целиком покрыл бы фундамент, а на рисунке видно, что это не так. Если бы в пьедестале и фундаменте содержалось по 64 блока, то сторона первого равнялась бы 4 м, а сторона квадрата 8 м. Достаточно беглого взгляда для того, чтобы отвергнуть и это предположение. Но предположение о пьедестале и фундаменте, состоящих из 729 блоков каждый, вполне согласуется с иллюстрацией, так как в этом случае сторона пьедестала (9 м) в три раза меньше стороны квадрата (27 м). Во всех остальных случаях фундамент оказался бы намного шире пьедестала, что противоречило бы иллюстрации.
312. Любопытный факт состоит в том, что куб может пройти сквозь другой куб с меньшим ребром. Допустим, мы расположили куб таким образом, что его диагональ ABоказалась перпендикулярной плоскости, на которой он стоит (см. рисунок слева). Тогда его проекцией будет правильный шестиугольник. На рисунке справа показана дырка, сквозь которую.может пройти куб с тем же ребром, что и у исходного. Однако легко заметить, что дырку можно немного увеличить так, чтобы сквозь нее прошел куб с большим ребром. Следовательно, я проделал дырку не в большем, как мог поспешно решить читатель, а в меньшем кубе! Поэтому больший куб, вполне очевидно, оказался тяжелее. Этого не могло бы произойти, если бы дырка была проделана в большем кубе.
313. Всего имеется 11 различных разверток, если не различать между собой две развертки, полученные одна из другой путем переворачивания. Если же наружная сторона коробки, например, голубая, а внутренняя белая и требуется уложить развертки белой стороной вверх, то это можно сделать 20 различными способами, поскольку тогда к каждой развертке, кроме случаев 1и 5, добавится еще по одной зеркально-симметричной развертке, которая теперь уже будет отличаться от нее.
314. Крендель можно разрезать на 10 частей одним прямым разрезом вдоль линии, показанной на рисунке.
315. Отметьте середины ребер BC, CH, HE, EF, FGи GB. Затем, начиная сверху, проведите разрез вдоль плоскости, обозначенной пунктирной линией на рисунке слева. Тогда каждая из двух новых поверхностей окажется правильным шестиугольником, а правый кусок будет выглядеть примерно так, как он изображен рядом.
