128. Наименьший квадрат равен 1 026 753 849 (32  043 ²); наибольший — 9 814 072 356 (99  066 ²).

129. Задача имеет только два решения: числа 567 (567 ²= 321  489) и 854 (854 ²= 729  316). При поиске решения следует рассматривать лишь такие трехзначные числа, сумма цифр которых равна 9, 18 и 27 или 8, 17 и 26. Наименьшее трехзначное число, квадрат которого шестизначен, равно 317.

130. Суммы цифр данных шести чисел соответственно равны

46	31	42	34	25	34
1	4	6	7	7	7

Складывая цифры сумм (если потребуется — не один, а несколько раз), мы получим в результате однозначные числа, стоящие во втором ряду. Назовем эти однозначные числа цифровыми корнями исходных чисел. Цифровые корни можно объединить в группы из трех чисел восьмью различными способами

146	147	167	177	467	477	677	777
2	3	5	6	8	9	2	3

(Внизу выписаны цифровые корни.) Как показано в моей книге «Математические развлечения», цифровой корень квадрата должен равняться 1, 4, 7 или 9. Поэтому искомые числа должны иметь цифровые корни 4, 7, 7. Две семерки можно выбрать тремя способами. Но если бы пятое число содержалось среди искомых, то их сумма оканчивалась бы на 189 или на 389, что невозможно для квадрата, ибо в нем перед 89 должно стоять четное число или 0. Следовательно, ответ имеет вид

В правой части стоит число, равное квадрату 3645.

Чтобы подчеркнуть ценность этого нового метода, я позволю себе процитировать профессора Роуза Бола:

«Данное приложение целиком обязано своим появлением мистеру Дьюдени. Свойства цифр мало известны математикам, и мы надеемся, что его пример поможет привлечь внимание к этому методу... При решении некоторого класса арифметических задач метод цифрового корня оказывается чрезвычайно полезным».

131. 7 + 1 = 8; 9 - 6 = 3; 4 × 5 = 20.

132. Приведем пять решений задачи:

133. Цифры 4, 6 и 8 должны стоять во втором разряде, поскольку никакое простое число не может оканчиваться на эти цифры. Цифры 2 и 5 могут появиться в разряде единиц только в том случае, если простое число однозначно, то есть если нет других цифр. После этого решение без особого труда доводится до конца:

134. В каждом из следующих восьми примеров девять цифр используются по одному разу, а разность между соседними суммами равна 9.

135. Число 94 857 312 при умножении на 6 дает 569 143 872, причем все девять цифр в каждом случае используются один и только один раз.

[Известны еще два решения: 89  745  321 × 6 = 538  471  926 и 98  745  231 × 6 = 592  471  386. — М. Г.]

136. Нетрудно представить число 24 с помощью трех четверок, пятерок, восьмерок или девяток:

Число 24 можно изобразить и с помощью трех единиц, шестерок и семерок. Действительно,

137. Бочки можно разместить 42 различными способами. Положение бочек 1 и 9 всегда остается неизменным. Условимся сначала помещать бочку 2 так, чтобы она оказывалась под бочкой 1. Тогда, если бочка 3 расположится под бочкой 2, то мы получим пять вариантов размещения бочек. Если же бочка 3 расположится справа от бочки 1, то в пяти вариантах под бочкой 2 оказывается бочка 4, в пяти — бочка 5, в четырех — бочка 6 и в двух — бочка 7. Всего получается 21 вариант. Но бочку 2 не обязательно ставить под бочку 1. С тем же успехом ее можно расположить справа от бочки 1. При этом мы получим еще 21 вариант. Эта партия размещений при внимательном рассмотрении оказывается не новой: все варианты переходят в один из первых вариантов при зеркальном отражении и при переворачивании «с головы на ноги». В центре всегда располагаются бочки 4, 5 или 6.

138. Необходимо лишь поменять местами 8 и 9, перевернув предварительно девятку так, чтобы она превратилась в шестерку. Тогда сумма чисел в каждом столбце станет равной 18.

139. Два числа, составленные из одних лишь единиц и дающие одинаковый результат при сложении и умножении, — это 1,1 и 11. Их сумма и произведение равны 12,1.

140. Вопрос Джорджа не застал Дору врасплох. Она немедленно дала верный ответ: 0.

141. Искомое число равно 142 857. Оно совпадает с периодически повторяющейся последовательностью цифр, стоящих в дробной части числа

, записанного в десятичной форме.

142. Искомое число равно 153. Кубы чисел 1, 5 и 3 равны соответственно 1, 125 и 27, а их сумма 153.

[Автор не заметил четвертого числа: 371. Если не считать 1, то 407, 370, 153 и 371 — единственные четыре числа, совпадающие с суммой кубов своих цифр. Относительно более общей задачи отыскания чисел, совпадающих с суммой n-ных степеней своих цифр, смотри книгу Joseph S. Madachy «Mathematics on Vacations» (N. Y., 1966, pp. 163—165). — M. Г.]

143. Вот как выглядит подробная запись деления:

[Когда Дьюдени впервые опубликовал эту головоломку, один читатель прислал ему доказательство единственности решения, однако оно слишком длинно, чтобы его здесь можно было привести. — М. Г.]

144. Полностью восстановленный пример выглядит так:

Три нуля внизу показывают, что последнее четырехзначное число делится как на 625, так и на 1000. Следовательно, оно разлагается в произведение следующих множителей: 5, 5, 5, 2, 2, 2, x, где x — число, которое меньше 10. У трехзначного делителя по крайней мере один из составляющих его множителей должен равняться 5. Следовательно, последняя цифра делителя равна 5 или 0. Вычитание из единственного нуля незадолго до конца показывает, что она равна 5. Отсюда мы сразу получаем последнее число: 5000. Делитель не содержит 2 (иначе он не оканчивался бы на 5); следовательно, последняя цифра частного должна равняться 8 (2 × 2 × 2), делитель равен 625, а xпредставляет собой четвертую пятерку. Остальное делается совсем просто.

145. Ответ:

Если первое число разбить на пары (45, 39 и т. д.), то их можно переставлять в любом порядке, лишь бы пара 06 не стояла в начале, а пара 45 — в конце.

146. Довольно легко обнаружить, что делитель должен равняться 312, а в частном не может содержаться девятка, поскольку делитель, умноженный на 9, даст повторяющиеся цифры. Таким образ.ом, известно, что частное содержит все цифры от 1 до 8 по одному разу. Остальное уже сравнительно легко сделать. Мы обнаружим, что имеется четыре возможных случая и что только в одном из них отсутствует повторение цифр, а именно:

[Возможно и другое решение: