г) На основе пифагорейского теоретико-числового учения о гармонии формулировался еще один тип симметрии, в отличие от предыдущего типа который можно было бы назвать динамическим типом симметрии. Это – то, что впоследствии получило название  золотого деления. В самой общей форме этот закон золотого деления гласил: величина, взятая вся целиком, так относится к своей большей части, как эта большая часть относится к меньшей части той же величины. Динамической эту симметрию мы назвали бы потому, что она формулирует постепенный переход от целого к части; и так как этих частей может быть сколько угодно, то ясно, что в порядке постепенности ими исчерпывается вся величина, взятая в целом, и исчерпывается путем постепенного перехода от большей части целого к его меньшей части.

Возьмем те числовые данные, которые, как мы видели выше, были установлены у пифагорейцев для кварты, квинты и октавы, а также и для целого тона. Если исходный тон принять за 1, то, как мы видели, октавой будет число 2. Если иметь в виду числовую характеристику квинты как 3:2, то мы получаем следующее вполне очевидное и убедительное равенство:

2 : 3/2 = 3/2 : 9/8

Это выражение, очевидно, гласит, что октава так относится к квинте, как квинта к целому тону. И поскольку тут имеется в виду отношение большей и меньшей части целого, то, очевидно, указанное выражение есть не что иное, как арифметическое, и, как увидим ниже, только арифметическое и больше ничего другого, выражение закона золотого деления.

То же самое мы получаем и для кварты:

2 : 4/3 = 4/3 : 8/9

Другими словами, октава тоже относится к кварте, как кварта к целому тону.

Здесь возможно сомнение, которое легко развеять. Могут сказать, что при сопоставлении этих двух форм золотого деления квинта вполне уравнивается кварте. Это, однако, вовсе не так. В данном случае кварта и квинта вовсе не уравниваются количественно, а уравнивается лишь их отношение к соседнему крайнему тону октавы. Эта форма гласит только то, что кварта и квинта возникают в октаве не как попало, но только в определенном месте октавы; и это место каждый раз соотносится с крайними тонами октавы тоже вполне определенным способом.

Другое сомнение возникает с первого взгляда потому, что последний член этих двух пропорций в первом случае является как 9/8, а в другом случае – как 8/9. Однако и здесь к приводимым числам нельзя относиться лишь количественно, но только в их отношении с обоими концами полной октавы. И если идти от одного конца, получается одно отношение, а если идти от другого конца, то получается, конечно, то же самое отношение, но только в обратном порядке, а именно, не 9/8, а 8/9, то есть в указанном смысле оба отношения совершенно тождественны.

д) Самое же главное, что нужно иметь в виду при рассмотрении указанных у нас выше двух пропорций с квартой и квинтой, – это то, что указанные пропорции исключительно только арифметические, а вовсе не музыкальные. Музыкальность мыслится здесь только весьма условно. Эти пропорции мы только для того и формулировали, чтобы использовать любимейшие пифагорейские интервалы кварты, квинты и октавы. Если же подойти к делу чисто музыкально, то с указанными выше двумя пропорциями придется либо предпринять некоторого рода допущения, либо просто расстаться.

Все дело заключается здесь в том, что указанные две пропорции, вполне точно выражая отношение между целой величиной, ее большей и ее меньшей частью, противоречат другому основному требованию золотого деления, а именно, сумма большей и меньшей части целого совсем не равняется в них всему целому. Если же мы захотели бы формулировать пропорцию действительно музыкальную, то пришлось бы, например, в случае с квинтой меньшею частью октавы считать не 9/8, но 2 : 2 = 1, то есть вовсе не тон, а половину октавы. Но музыкальный смысл половины октавы невыразим в целых числах. Она есть не что иное, как нечто весьма близкое к сексте, и, конечно, вовсе не сама секста. Но ни сексту, а также и ни увеличенную и ни уменьшенную сексту в античности вовсе не считали консонансом. Точно так же и расстояние между такой псевдосекстой и октавой равнялось бы терции, причем тоже не точной или, как говорят, не чистой. Но никакую терцию в античности тоже не считали консонансом. Это и приводило легко к тому, чтобы вместо уменьшенной сексты говорить просто о квинте, которая отличалась от уменьшенной сексты даже гораздо меньше, чем на тон. А мы уже знаем, как произвольно поступали пифагорейцы при математическом выражении своих экспериментальных данных. Они просто не считались с арифметической точностью, которую к тому же они и не могли выразить, а давали лишь приблизительную числовую квалификацию своих экспериментальных данных. Поэтому и предложенные нами две пропорции есть только насильственная попытка применить пифагорейские целочисленные операции к музыкальным тонам, чтобы хоть как-нибудь формулировать музыкальное применение закона золотого деления. Эти две наши арифметические пропорции вполне условны. Даже и число 2 мы сочли выражением октавы только в этом условном смысле.

5. То же. Три пропорции

Наконец, среди теоретико-числовых операций в области музыкальной гармонии у пифагорейцев имела место еще и теория трех пропорций. Ее совершенно точно формулировал Архит (47 B 2).

а) Первая пропорция,  арифметическая, есть такое соотношение чисел, когда разница Между двумя числами одной пары равняется разнице чисел другой пары. Если октаву представить себе в виде 7 тоновых промежутков, а квинту – в виде четырех таких же промежутков, то получается такая ясная пропорция: 7 – 4 = 4 – 1. Это значит, что полная октава на столько же тонов превосходит квинту, на сколько сама квинта превосходит один тон.

б) Что касается  геометрической пропорции, то и она характеризует собою в максимально очевидной форме тоже определенного рода числовые отношения. Именно, 2:1 = 4:2. Установлена пропорция 1 : 4/3 = 3/2 : 2. Другими словами, помещение двух кварт по бокам одного центрального тона числовым образом понималось как установление геометрической пропорции: во сколько раз кварта больше исходного тона, во столько же раз октава больше квинты. С подобного же рода пропорцией мы встречались при обсуждении закона золотого деления, почему и нужно понимать золотое деление как разновидность геометрической пропорции. Конечно, если пользоваться первичной тетрактидой, то само собой была ясной и пропорция 2:1 = 4:2. Но в таком виде геометрическая пропорция была малоинтересна, потому что уже заранее было известно, что если консонанс является отношением октавы к основному тону, то консонансом было также и отношение двойной октавы к ординарной или ординарной к основному тону.

в) Наконец, Архит установил еще и так называемую  гармоническую пропорцию. Она заключалась в том, что на какую часть первой величины вторая превосходила первую, на такую же часть третьей величины эта третья превосходила вторую. Или (a-b):(b-c) = a:c. Нетрудно сообразить, что здесь имелась в виду именно кварта, которая и получалась в результате установления такого рода пропорции – (2 – 4/3):(4/3 – 1) = 2:1. Итак, положение кварты в октаве понималось при помощи применения гармонической пропорции.

г) Можно поставить вопрос также и специально об  эстетической сущности гармонической пропорции. Древние слишком увлекались теоретико-числовыми операциями и не находили нужным анализировать также еще и эстетическую сущность этих операций. Как нам представляется, речь тут шла, конечно, в первую очередь об отношении целого и частей, а также об отношении частей между собою внутри единого целого. И утверждалось, что гармоническая пропорция говорит о таком положении целого и частей, при котором мыслится одинаковость отношения двух каких-нибудь частей к своему положению относительно третьей части. Части целого различны между собою, но это различие не настолько велико, чтобы делать все эти части абсолютно дискретными одна в отношении другой. Такое отношение одной части к другой было не только определенной величиной, но оно обязательно было связано также и со всякой третьей частью. Гармоническая пропорция только и говорила у древних о таком различии частей и целого, когда эти части везде сохраняют свое определенное структурное положение в системе целого. Но при таком нашем понимании гармонической пропорции последняя получает, конечно, самую высокую эстетическую значимость.