Когда стараешься вникнуть в эти многочисленные изложения геометрии Римана, поражает одна яркая антитеза— неумолимая строгость всего вывода и чудовищность, с обычной точки зрения, всех получаемых результатов. Чтобы понять философскую сущность пространства Римана, приходится разыскивать его зерно, его душу, его перво–принцип, а это–то и трудно уловить за бесконечными и чудовищными нагромождениями. Сами математики мало этому помогают. Тончайший и глубочайший вопрос о смысловом содержании пространства Римана они почти всегда подменяют вульгарным и матерым вопросом о его «реальности». Еще неизвестно как следует, в чем дело и что это за тайна — эллиптическо–сферическое пространство Римана, а уже решается вопрос, реально ли это пространство. И тут, как всегда, целый букет разнообразных вкусов и капризов. Одним хочется, чтобы оно было; другим хочется, чтобы его не было; третьи — и нашим, и вашим; и т. д. Мы отбрасываем весь этот «кабинет любомудрия» и попробуем вникнуть в самое смысловое содержание пространства Римана и неэвклидовых пространств вообще.

5. а) Для нашего исследования очень малую роль играют аналитические рассуждения. Как ни просто, ясно и прекрасно мероопределение Кэли — Клейна, оно нам почти ничего не дает для философского истолкования неэвклидовых пространств. Этот множитель К в определении расстояния, принимающий разное значение для пространств Эвклида, Лобачевского и Римана и связанный с т. н. кривизной пространства, уже предполагает некую интуицию, которую приходится заимствовать из каких–то других источников. Больше дает нам выяснение отношения указанных трех пространств к пространству проективному. Уже в § [63 ] мы видели, как разные типы геометрии получаются при помощи усложнения проективной геометрии. Виды геометрии, рассматриваемые у нас сейчас, также без особого труда выводимы из проективной геометрии. Но и этот метод все еще недостаточно интуитивен и все еще слишком сложен для того непосредственного ощущения, которое должно лежать в основе всякого философского заключения.

Остается один способ — это попробовать использовать обе основные неэвклидовы геометрии эвклидовски–ми методами. Нельзя ли в «нашем», «обычном» пространстве найти такие формы, которые бы в той или иной форме символизировали собою эти чудовищные (на первый взгляд) нагромождения неэвклидовых пространств? Такие попытки были предприняты крупнейшими математиками, Пуанкаре и Клейном, а в простейшей и наглядной форме это изложено у И. Вельштейна в его «Основаниях геометрии». И в этом — якорь нашего философского спасения. Не будь этой эвклидовской интерпретации неэвклидовых пространств, философская сущность последних была бы недостижима и теперь, через сто лет после открытия неэвклидовой геометрии, как она была неясна и тогда ^[75].

Для уловления этого изначального символа эллиптического пространства рассмотрим сначала понятие т. н. связки.

b) Формулируем сначала ряд несложных геометрических понятий.

Степенью точки относительно данной окружности называется произведение всей секущей, проходящей (рис. I) ^[76]через эту точку, на ее внешний отрезок. Это величина постоянная для данной окружности и точки и равняется квадрату касательной к данной окружности из этой точки. В случае, когда эта точка находится внутри окружности, степень равняется квадрату полухорды, перпендикулярной к прямой, соединяющей ее с центром окружности. В первом случае оба отрезка секущей всегда расположены по одну сторону точки (будем называть ее О), во втором случае — по разные стороны. Отсюда в первом случае степень считают положительной, во втором же—отрицательной. Если точка О лежит на окружности, то ясно, что степень ее равна нулю. Точки, обладающие одной и той же степенью относительно нескольких окружностей, расположенных в одной плоскости, лежат на одной прямой, перпендикулярной к их линии центров и называемой радикальной осью данных окружностей. В различных точках этой оси степень точки относительно данных окружностей, конечно, разная. Точка пересечения этих осей называется радикальным центром.

Окружности, расположенные в одной плоскости и имеющие общую радикальную ось, образуют пучок окружностей. Эти окружности по числу общих точек образуют три группы ^[77]пучков: 1) параболический пучок, в котором окружности имеют только одну общую точку (рис. 2), 2) эллиптический, когда (рис. 3) их две и 3) гиперболический, когда их ни одной (рис. 4). В первом случае радикальная ось {а) проходит/ через общую точку, т. е. точку касания всех окружностей, во втором — она внутри окружностей (А ₁А ₂) и в третьем — она вне их (а'). Легко доказывается из рис. 4, что линия центров эллиптического пучка есть радикальная ось гиперболического пучка, а радикальная ось эллиптического есть линия центров гиперболического и окружности обоих пучков пересекаются ортогонально.

Совокупность окружностей на плоскости, относительно которых какая–нибудь точка О имеет одну и ту же» степень, называется связкой окружностей. Связки тоже бывают трех типов с теми же названиями, что и у пучков, в зависимости от того, имеет ли общий радикальный центр положительную или отрицательную степень относительно окружностей связки или окружности, проходя через одну и ту же точку плоскости, определяют для нее и одну и ту же нулевую степень. Связку можно определить и иначе. Имея в виду, например, что в гиперболической связке значение степени есть (+р ²) и что окружность с центром О и радиусом ρ ортогонально пересекает все окружности связки, можно сказать и так: связка окружностей есть такая совокупность окружностей, которые пересекают данную окружность ортогонально. Поскольку в эллиптической связке общий радикальный центр имеет степень (— р ²) относительно всех окружностей связки, диаметральная окружность эллиптической связки относится к самой связке, в то время как в гиперболической она — вне ее. Точки пересечения всех окружностей связки могут быть расположены и на самой диаметральной окружности, как это видно на рис. 5 ^[78].

Наконец, необходимо иметь в виду и пространственные отношения. Пучок окружностей, вращаясь вокруг линии центров, образует пучок сфер, т. е. совокупность сфер, имеющих общую радикальную плоскость. Если же окружности связки вращаются каждая вокруг своего центра, то получается связка сфер, совокупность сфер, имеющих общую радикальную ось. Совокупность же сфер, относительно которых некая точка О имеет одну и ту же степень, называется сетью сфер.

В случае связки окружностей каждая прямая, проходящая через точку О, пересекает каждую окружность связки в двух точках, в т. н. паре точек связки. Соответственно и в сферической сети — пара точек сети. Эти точки — взаимообразные, потому что они получаются одна из другой путем аналогичного преобразования.

с) Все эти установки дают нам в руки весьма тонкий инструмент для уловления философской сущности неэвклидовой геометрии. Попробуем представить себе, что в эллиптической связке пара точек в инверсии сети является одной точкой. Другими словами, представим себе, что точки Q _xи Q ₂(рис. 4) пересечения всех окружностей (и сфер) связки есть одна и та же точка. Представить это, может быть, и не так легко. Но вспомним, что мы говорили выше. Точка на данной ступени диалектического развития геометрии должна мыслиться не абстрактно, но выразительно: она вмещает в себя и свою антитезу, т. е. свой уход в бесконечное инобытие, свою «бесконечно удаленную» точку. Итак, точку мы берем вместе с ее диалектической антитезой.

Но что же тогда мы назовем прямой? Прямая предполагает по крайней мере две точки. Но, взглянувши на рис. 4 и помня сказанное выше о выразительности точки, мы сразу замечаем, что какая–то прямая должна образоваться, уже когда абстрактная точка удалилась в свое бесконечное инобытие, и что если она в этом последнем нашла не что иное, как саму же себя, то это возможно только благодаря замкнутости пути, проходимого ею для этого. Следовательно, прямая в нашей новой геометрии есть не что иное, как окружность. Уйти в инобытие, отрицая себя, и найти в инобытии себя же, отрицая свое отрицание и тем заново утверждая себя, — это значит двигаться по окружности. Да мы и раньше, еще в конструкции отвлеченных фигур (§ [55 ]), нашли, что выразительная линия есть определенным образом замкнутая линия. Итак, будем считать окружности нашей связки за прямые.