Та реальная чувственность, которой обладает человек, не есть нечто только непрерывное и только текучее, только сплошное. Она есть известное оформление этой непрерывности, известная система прерывных и расчлененных моментов абсолютно неразличимого потока непосредственно–чистой чувственности. Мы можем брать один непрерывный поток и другой непрерывный поток в мышлении или в бытии. И уже то одно, что мы взяли другой поток, ясно свидетельствует о различии, наблюдаемом нами в безразличной непрерывности, и даже о сравнении этих различных непрерывностей. А сравнивание есть уже помещение их как бы на одну плоскость. Это есть уже какое–то их прикрепление к одному и тому же месту, т. е. какие–то прекращения их непрерывного становления.
Пусть перед нами текут два ручья. Самые–το ручьи непрерывно и сплошно текут, и—соответственно—их взаимоотношение меняется: волны того и другого ручья могут по–разному меняться, и в каждое мгновение они — различны, т. е. по–разному и относятся волны и струи одного ручья к волнам и струям другого ручья. И все–таки, несмотря на это, стоя на возвышенном месте и наблюдая эти два ручья на известном их протяжении, я обязательно имею перед собою их общую картину, и уж эта картина совершенно не меняется, а остается той же самой. Она—одна и та же при всей изменчивости течения обоих ручьев. Она есть то, за пределы чего не выходит взаимоотношение обеих текучестей. Она и есть предел взаимоотношения этих текучестей.
Ясно, что здесь мы хотя и продолжаем вращаться в сфере чувственности, но уже самую эту текучую чувственность начинаем понимать не просто как сплошную текучесть, но уже как известную едино–раздельность, конечно существенно связанную с этой текучестью. В данном случае она достигается при помощи предельного перехода.
Заметим, что, отличая чувственность от мышления сплошной текучестью, мы вошли бы в полное противоречие с принятыми нами самими установками для этой работы, если бы отрицали за мышлением всякую текучесть. Мышлению, поскольку оно есть именно мышление, а не чувственность, не свойственна лишь чисто непосредственная, т. е. слепая, текучесть. Но сплошная текучесть может быть сформирована не слепо, а осмысленно, т. е. составляющая ее непрерывность может в недрах своих сохранять именно эти осмысливающие ее предельные переходы. Но тогда мы получаем математическое понятие континуума как множества, т. е. такую сплошность, которая дана с целой системой предельных переходов. Однако понятие континуума сейчас нас не интересует; мы хотели только разъяснить, в каком смысле чувственность отличается от мышления сплошной текучестью.
Итак, мы получаем предел отношения бесконечно–малых приращений функции и аргумента; и этот предел есть производная от данной функции. Если бы наши два ручья так были бы связаны между собою, что течение в одном целиком зависело от течения в другом, т. е. чтобы один был функцией другого, то общую картину этого взаимоотношения двух течений, картину, за пределы которой эти последние не выходят, мы могли бы в совершенно точном смысле слова назвать некоторого рода живописной производной от одного ручья, как сказал бы математик, по другому, т. е. производной от того ручья, который является функцией, по тому ручью, который является аргументом.
4. Будем вдумываться в это важное понятие производной и попробуем привыкнуть к нему, чтобы в дальнейшем найти и его точный коррелят в логике.
Будем изучать это отношение бесконечно–малых приращений функции и аргумента. Математики показывают, что в условиях непрерывного изменения χ и у отношение между ними тоже непрерывно меняется, но оно меняется не как попало. Рассмотревши ряд значений этого отношения, мы убеждаемся, что этот ряд строится по определенному закону. Да этого закона и не может не быть, если у есть совершенно определенная функция от х. Если все это точно определено, то и бесконечно разнообразные отношения между приращениями отражения вещи и самой вещью не могут обладать случайным характером. Ведь если мы себе представим, что вещь χ прошла путь своих бесконечно–малых приращений целиком, так что уже никакого нового приращения быть не может, то ведь и отношение между этим нацело пройденным путем вещи и соответствующим ему путем изменения его отражения тоже окажется чем–то достигнутым, завершенным и окончательным. Правда, на путях своего непрерывного становления вещь никогда не может достигнуть такого предела. Но с другой стороны, мы ведь не можем же остановиться только на точке зрения непрерывности. С такой точки зрения не только никакой Ахиллес никогда не догонит черепахи, но и вообще никогда нельзя прийти из точки А в точку В, как бы они близки ни были одна к другой. Следовательно, хотя вещь и меняется непрерывно и хотя также и мышление, соответствующее ей, тоже меняется непрерывно, тем не менее сама–то вещь есть нечто определенное и даже конечное, равно как и соответствующее ей мышление. А поэтому и отношение между бесконечно–малыми непрерывными изменениями того и другого типа так же должно стремиться к чему–то конечному и определенному. Это и есть предел данного отношения, или то, что в математическом анализе носит название производной (в данном случае— первой производной). Значит, это отношение между бесконечно–малыми приращениями отражения вещи и самой вещи стремится к точному, вполне определенному пределу, к некоей новой функции, носящей название производной.
Это математики и выражают своими знаменитыми символами математического анализа. Δх и Δ ν — произвольные приращения аргумента и функции. Отношение между ними
есть, вообще говоря, некоторая конечная величина, самое обыкновенное арифметическое частное. Но когда χ и—соответственно—у бесконечно мало меняются, т. е. когда мы берем, собственно говоря, уже не л; и у, но их непрерывное становление, тогда отношение их приращений переходит в такое же непрерывное становление. Или говорят так: приращения Δ х и Δ у бесконечно мало отличаются от нуля или непрерывно стремятся к нулю, а отношение этих бесконечно умаляющихся приращений имеет некий устойчивый предел. И тог да вместо Δ>· и Δ.τ пишут Δх и Δ ν и записывают гак:
, а словами говорят: производная от у по х.
5. Спросим себя теперь: если упомянутое отношение есть чувственное знание (напр., ощущение и представление), то что же такое предел этого отношения? Что такое предел наших чувственных познаний данной вещи, когда оказываются учтенными все возможные изменения данной вещи, когда мы охватываем, стало быть, целую бесконечность всех мельчайших изменений вещи, т. е. целую бесконечность всех возможных экземпляров вещи, когда мы охватываем, следовательно, все вещи данного ряда? Очевидно, если не входить в детали и ограничиться только самой общей формулой, то это есть не что иное, как понятие вещи. Понятие, следовательно, или, точнее, сфера образования понятия есть первая производная от мышления, понимаемого как адекватное существенное отражение материальной вещи по самой вещи в условиях непрерывного становления того и другого.
Строго говоря, производная не есть в переводе на логический язык просто само законченное понятие, но только относится к сфере образования понятия. Строгое же решение этого вопроса будет дано у нас ниже.
4. ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ ДЛЯ ЛОГИКИ
1. Здесь перед нами также, по–нашему, огромный дар логике от математического анализа. Мы покамест оставим в стороне категорию производной в целом, ибо в дальнейшем ей посвящается у нас отдельный параграф. Но о категории предела, входящей в производную, необходимо сказать подробнее уже сейчас. Эта категория, как мы видим, привлечена у нас не больше и не меньше как для изображения логического отношения между мышлением и чувственностью.
Невозможно себе и представить все ухищрения ученых в вопросе о взаимоотношении мышления и чувственного представления. Можно сказать, вся история философии, особенно Нового времени, есть история разных теорий о взаимоотношении мышления и представления или, в дальнейшем, мышления и ощущения. И результат всех этих теорий довольно–таки плачевный. Это — априоризм и сенсуализм с бесконечными оттенками между ними. И это почти всегда подмена логической точки зрения разными натуралистическими исканиями, что из чего и как произошло. Но что бы и как бы из чего ни происходило, логическая значимость этим не определяется. Ньютон, Дарвин, Павлов — религиозные люди, а создавали материалистические системы. И наоборот, многие воспитанники духовных семинарий оказались у нас и материалистами, и революционерами. Пусть общее понятие «происходит» из чувственного опыта. Ну и что же из этого? Прежде всего, такое решение логической проблемы общего понятия не имеет никакой возможности ответить на критику Канта о том, что всякое отдельное чувственное восприятие пространственно–временной вещи уже предполагает априорные формы пространства и времени. А во–вторых, какое же это имеет отношение к логической природе мышления? А если известная теорема приснилась мне во сне в готовом виде, значит ли это, что данная теорема неверна?
