Рис. 8.2. Границы фрактальных бассейнов. Даже когда долгосрочное поведение динамической системы не является хаотическим, хаос может появиться на границе двух типов устойчивого поведения. Зачастую динамическая система характеризуется более чем одним состоянием равновесия, как, например, маятник, который может остановиться, притянувшись к одному из двух магнитов, встроенных в его основание. Каждое состояние равновесия является аттрактором. Граница между двумя аттракторами может быть сложной, но спокойной (слева), или же сложной, но не плавной. В высшей степени фрактальная россыпь белых и черных фрагментов (справа)есть диаграмма маятника в фазовом пространстве. Система, несомненно, достигнет одного из возможных устойчивых состояний. Для некоторых начальных условий результат вполне предсказуем. Черное есть черное, а белое является белым. Но вблизи границы прогнозировать что-либо уже невозможно.
Майкл Барнсли пошел по иному пути: мысли его обратились к формам, созданным самой природой. Особенно его занимали образы, исходившие от живых организмов. Он экспериментировал с множествами Джулиа, а также с другими процессами, постоянно отыскивая способы генерации еще большей изменчивости. В итоге он обратился к неупорядоченности как к основе неизвестных ранее методов моделирования естественных форм. Рассуждая о новой технике в статьях, ученый именовал ее «глобальным построением фракталов посредством систем итерированных функций», а в разговоре отзывался о своем изобретении как об «игре хаоса».
Чтобы сыграть в такую игру, необходим компьютер с графическим пакетом программ и генератором случайных чисел, но в принципе будет достаточно листа бумаги и монетки. Выбираем на листе начальную точку — неважно, где именно. Придумываем два правила — для орла и для решки. Правила указывают, каким образом откладывать новые точки, например: «Переместиться на два дюйма на северо-восток» или «Приблизиться на 25 % к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки, когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, как сдающий карты прячет первые несколько карт при новой сдаче, то обнаружится, что «игра хаоса» воспроизводит не случайное поле или разбросанные точки, а форму, проявляющуюся все более и более четко по мере продолжения игры.
Основное предположение Барнсли звучало так: множества Джулиа и другие фрактальные формы, хотя и считаются по справедливости итогом детерминистского процесса, обладают второй равнозначной ипостасью как предел неупорядоченного процесса. Ради сравнения ученый предложил представить, к примеру, карту Великобритании, нарисованную мелом на полу комнаты. Топографу со стандартным набором инструментов будет весьма непросто измерить площадь всех изгибов, хотя бы тех же фрактальных береговых линий. Но вообразите, что мы подбрасываем в воздух одно за другим зернышки риса, которые в беспорядке ложатся на пол, а затем подсчитываем количество зерен, оказавшихся в пределах контура карты. Со временем результат начинает приближаться к площади интересующих нас форм, как предел случайного процесса. Говоря на языке динамики, формы Барнсли оказались аттракторами.
«Игра хаоса» использовала фрактальные характеристики некоторых изображений, то их качество, что они могли быть созданы из малых копий основной картины. Выбор правил для случайной итерации позволяет уловить основополагающую информацию о той или иной форме, а сама итерация правил выдает эти же данные обратно независимо от масштаба. В указанном смысле чем более фрактальной является форма, тем более простыми окажутся соответствующие принципы. И Барнсли быстро обнаружил, что может воспроизвести все ставшие уже классическими фракталы из книги Мандельбро. Техника последнего представляла собой бесконечную последовательность построений и совершенствований: скажем, для создания снежинки Коха или ковра Серпински нужно, удалив линейные сегменты, заменить их точно определенными фигурами. Применяя вместо этого «игру хаоса», Барнсли создавал изображения, казавшиеся вначале лишь расплывчатыми карикатурами, но со временем вырисовывавшиеся все более четко. Вместо процесса усовершенствования, в котором не возникло необходимости, использовался лишь один набор правил, с помощью которого в итоге и воплощалась нужная форма.
Барнсли и его коллеги начали безудержно конструировать всякие изображения, многообразные формы, напоминавшие изогнутые капустные листья, налет плесневых грибков и брызги грязи. Ключевым стал теперь вопрос о том, как повернуть процесс вспять, как вывести набор правил для заданной формы. Ответ, названный ученым «теоремой коллажа», оказался настолько простым, что заставлял подозревать подвох. Для начала следует изобразить на экране дисплея форму, которая вас интересует. (Барнсли, будучи давним любителем папоротников, выбрал для первых опытов один из них.) Затем, используя «мышь» в качестве указки, нужно устлать первоначальную форму ее уменьшенными копиями, позволяя им, если необходимо, чуть накладываться друг на друга. В высшей степени фрактальную фигуру можно легко покрыть ее копиями, с менее фрактальной дело пойдет сложнее, но как бы то ни было, в принципе каждую форму можно устлать ее миниатюрными копиями.
«Если образ достаточно сложен, правила также будут непростыми, — пояснял Барнсли. — С другой же стороны, если объект заключает в себе скрытый фрактальный порядок — основное наблюдение Бенуа заключается в том, что множество явлений в природе не обладают им, — тогда с помощью нескольких правил его можно расшифровать. В данном случае модель окажется более занимательной, чем та, что создана при помощи Евклидовой геометрии. Известно же, что, взглянув на краешек листа, мы не увидим прямых линий». Его первый папоротник, созданный на небольшом персональном компьютере, точно соответствовал изображению в книге, хранимой ученым с детских лет. «Этот образ ошеломлял своей достоверностью. Любой биолог без труда идентифицирует его».
Барнсли с удовлетворением констатировал, что в некотором смысле природа играет в «игру хаоса», только на свой лад. «Информации, которую несет в себе спора, хватает лишь для кодирования одного вида папоротника, — замечал ученый. — Таким образом, существует предел его совершенству. Не удивительно, что нам удается отыскать равноценную краткую информацию для описания папоротников. Было бы странно, если бы дела обстояли иначе».
Но являлась ли случайность необходимой? Хаббард, также размышлявший о параллелях между системой Мандельбро и биологическим кодированием информации, выходил из себя при одном упоминании о том, что такие процессы зависимы от вероятности. «В системе Мандельбро нет ничего случайного, — возражал он, — как нет его ни в одном из явлений, которые я исследую. Не думаю также, что возможность неупорядоченности имеет прямое отношение к биологии, где любая случайность и хаотичность равносильны смерти. Все здесь в высшей степени структурировано. Исследуя вегетативное размножение растений, вы видите, что порядок, в котором распускаются листья на ветках, всегда один и тот же. Система Мандельбро подчиняется необычайно точной схеме, не оставляя места случаю. Я подозреваю, что когда кто-нибудь наконец-то выяснит, как устроен мозг, ко всеобщему изумлению обнаружится, что существует кодовая схема для конструирования этого органа, непостижимо четкая. Сама же идея случайности в биологии весьма призрачна».
Впрочем, метод Барнсли отводит случайности скромную роль инструмента. Использование его дает детерминистские и предсказуемые результаты. Наблюдая за вспыхивающими на экране точками, невозможно догадаться, где появится следующая, — это зависит от того, как ляжет «монетка» внутри компьютера. И все же почему-то мерцание всегда остается внутри границ, очерчивающих нужную форму на дисплее. В этом отношении назначение случайности обманчиво. «Она отвлекает внимание, — разъяснял Барнсли. — Случай важен для получения образов определенного инвариантного размера, существующих на фрактальном объекте. Сам же объект не зависит от случайности. Со 100-процентной вероятностью мы снова и снова рисуем то же изображение. Случай снабжает нас важными данными, исследуя фрактальные объекты с помощью собственного алгоритма. Нечто подобное происходит, когда мы, войдя в незнакомую комнату, перескакиваем взглядом с предмета на предмет и получаем достаточное представление о самой комнате. Она такова, какова она есть. Объект существует невзирая на то, что нам приходится предпринимать».
