Хотя фундамент счета постепенно установился на основании 10, используемом сегодня почти всюду, были и остаются некоторые, отклонения. В языке апи, на котором говорят жители Новых Гебрид, счет ведется по основанию 5, и следы того же основания можно отыскать в некоторых языках Африки. Отголоски счета по основанию 12 обнаруживаются в употреблении нами дюжины. Вавилоняне предпочитали основание 60 по причинам, которые все еще остаются темными, и их выбор удержался в нашем способе деления времени и круга, с малыми «минутами» и вторичным (second) делением этих минут на секунды. Существует предположение, что шумеры Вавилона остановились на 60 (но без символа 0) в результате слияния двух культур, одна из которых использовала основание 10 (с простыми делителями 2 и 5), а другая основание 12 (с простыми делителями 2 и 3), с наименьшим общим произведением делителей (2×5) × (2×3) = 60. Основание 60 так никогда и не привилось в повседневном счете, поскольку требовалось выучить очень большое число обозначений для 60 различных чисел, необходимое для схемы (0, 1, …, 8, 9, ♦,
”
, …, *[наше 59], 10[наше 60], 11, …). Латынь и французский несут следы основания 20, в
undeviginti(19 = 20 − 1) и
quatre-vingts(4 × 20 = 80) соответственно, и этот след можно различить в английском
score(20) и датском
tresinstyve(три раза по двадцать) для 60; основание 20 все еще используется у некоторых племен индейцев в Венесуэле, эскимосов Гренландии, айнов Японии и запотеков Мексики. Заслуживают жалости несчастные майя, чей астрономический календарь имел похожий на раковину символ для 0 и основание 20, но третий разряд («сотни») был основан на 18 × 20, вместо 20 × 20, четвертый разряд был основан на 18 × 20 × 20 и так далее. Вероятно, они пытались упростить астрономические вычисления, такие как 18 × 20 = 360, длина года у майя.
Однако счет на пальцах неудобен для ведения записей, и когда появились древние первовычислители и начали заниматься своим ремеслом, постоянное освоение различных сред физического мира медленно проявлялось в виде приспособлений для счета и записей сделок. Шумеры использовали довольно утонченную форму клинописных обозначений чисел, аттические греки ввели буквенные обозначения, с символами, подобными Δ (δεκα, дека) для 10 и M для 10 000 (μυριοι, муриои). До сих пор еще живы в качестве цифр повседневного пользования римские цифры. В дополнение к очевидным I, II, …, которые мы теперь записываем как 1, 2, …, немецкий историк Теодор Моммзен (1817-1903) умозаключил, что V (=5) представляет растопыренную ладонь, X (=10) — это сочетание двух ладоней, M (=1000) есть распад на части символа Φ, принявший вид (|), a D (=500) это буквально половина этого символа.
Знакомые нам «арабские» цифры, видимо, возникли в Индии в период времени до девятого века, возможно, как способ представления абака. Западные ученые назвали их «арабскими» потому, что в то время арабская наука преобладала, и пишущие обращались к ее авторитету. Происхождение форм начертания большинства цифр остается темным, но для 1 оно очевидно, 2 является, возможно, комбинацией двух горизонтальных штрихов, а 3 — трех. Человеческие существа, по-видимому, не способны определять на глаз число предметов, если оно более четырех, и, следовательно, цифры от 4 до 9, видимо, должны были возникнуть как сокращенные формы обозначения соответствующих наборов штрихов.
Эволюция наших современных символов может быть прослежена до их написания в Брахми, очень древней форме индийского письма обнаруженной в надписях Ашоки, третьего царя династии Маурья из Магадхи, который правил Индией от 273 до 235 г. до н.э. (рис. 10.1); само это письмо, по-видимому, произошло от западной семитской традиции как разновидность арамейского. Эти цифры предложил невосприимчивой Европе в конце десятого столетия монах Герберт Ауриллак (около 945-1003), ставший папой Сильвестром II в году, который обозначался многообещающей цифрой 1000, но, к разочарованию многих, так и не стал годом апокалипсиса. Мягкий напор нововведения не преодолел сопротивления консервативных церковников, которые предпочли прилепиться к классической римской традиции, несмотря на почти полную невозможность пользоваться ею в арифметике. Самое первое появление новых цифр зарегистрировано в Codex Vigilanus, который скопировал монах Вигила в монастыре Альбеда, Испания, в 976 г.
Рис. 10.1.Так называемые арабские цифры произошли от индийских символов, которые можно проследить до письма Брахми и далее, до более глубоких корней в семитской традиции. Верхняя строка показывает четыре цифры третьего века до н.э. из эдикта Ашоки, писанного на Брахми. Вторая строка показывает цифры третьего века н.э. из источника, найденного в штате Уттар Прадеш.
Ноль (zero, от арабского sifr, пустой) первоначально обозначался точкой, как и поныне обозначается в арабском письме. Символ бесконечности, ∞, как волк в ночи, прокрался в стан чисел, чтобы в нужный момент наброситься на них. Его впервые использовал в 1655 г. страдавший бессонницей Джон Уоллис (1616-1703), оксфордский математик и один из основателей Королевского общества, в своем Трактате о конических сечениях. Он выбрал этот символ для обозначения кривой, которую можно продолжать бесконечно, возможно, надеясь заснуть, продолжая ее.
Неприятности (то есть математика) начались, когда числа стали различными способами комбинировать. Когда мы начинаем манипулировать натуральными числами, используя такие операции, как вычитание и деление, когда изобретательный интеллект обременяет себя ношей практического опыта, мы порождаем числа, имеющие мало общего с количественными числами. Сперва мы рассмотрим символы для этих операций, а затем увидим, как, применяя их к натуральным числам, мы порождаем новые типы чисел; их сводка представлена на рис. 10.2, и, вероятно, будет полезно держать эту иллюстрацию в уме, читая последующий текст. В начальные для математики времена уравнения были «риторическими», в том смысле, что они сжато выражались словами. Гораздо большая ясность, а с большей ясностью и большие возможности для манипуляций, возникла после введения символов, определяющих операции.
Рис. 10.2.Здесь представлена сводка основных типов чисел, с которыми мы встречаемся в этой главе. Натуральные числа являются числами счета; их расширение на отрицательные значения порождает целые числа. Между целыми числами расположены рациональные числа, то есть числа, получаемые делением одного целого числа на другое. Гораздо большую плотность имеют иррациональные числа, которые нельзя получить таким способом. Действительные числа, состоящие из целых чисел, рациональных чисел и иррациональных чисел, соответствуют точкам, образующим прямую линию, уходящую в бесконечность в обоих направлениях. Алгебраические числа являются числами, которые можно получить в виде решений алгебраических уравнений, а трансцендентные числа являются числами, которые нельзя получить таким способом. Некоторые алгебраические числа рациональны, другие иррациональны; все трансцендентные числа иррациональны.
Знак сложения, «+», возможно, произведен от курсивного написания etи впервые появился в немецком манускрипте пятнадцатого века, а знак «−» для вычитания мог просто указывать на отделение. Знак умножения, «×», возможно, произошел от символа, использовавшегося для вычисления пропорций, которое включает перекрестные перемножения, и впервые появился в труде Clavis mathematicae, опубликованном в 1631 г. Уильямом Отредом (1574-1660), изобретателем раннего варианта логарифмической линейки. Немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716) счел, что знак × слишком легко спутать с x, и в 1698 г. предложил использовать вместо него простую точку, так чтобы a.bобозначало умножение aна b. Он также предпочел для деления знак «:», но сначала в шведском тексте 1659 г. для деления был использован символ «÷», ранее обозначавший вычитание.
