Рис. 9.1.Некоторое отдаленное представление об объектах в гиперпространстве может быть получено с помощью графических образов и анимаций. Здесь изображены два кадра анимации, изображающей вращение плоского тора в четырех измерениях, спроектированное в три измерения и затем представленное в двух.
Ноль-мерный куб (0-куб) — это точка. Представьте себе 0-куб как карандашную точку, тогда одномерный куб (1-куб) является линией, которую карандаш рисует, когда его двигают по прямой (рис. 9.2). Двумерный куб (2-куб) является плоской фигурой, порожденной протаскиванием 1-куба в новом направлении, лежащем перпендикулярно первому. Все это легко воспринять с помощью компаса нашего воображения, так же как и воображения смышленого муравья, и легко проделать на листе двумерной бумаги. Трехмерный куб (3-куб), заурядный повседневный куб, порождается протаскиванием плоского 2-куба в направлении, перпендикулярном его плоскости. С тем, чтобы вообразить этот шаг, проблем не возникает, хотя муравей был бы озадачен, поскольку ему не дано понять, как может существовать третье перпендикулярное направление. Не возникает проблем и с представлением 3-куба на 2-странице, обычном листе бумаги, поскольку мы теперь так хорошо знакомы с двумерными представлениями в искусстве, что расшифровываем эти представления без труда.
Рис. 9.2.Кубы различных размерностей могут быть построены с помощью движения куба предшествующей размерности в новом, перпендикулярном направлении. Здесь мы видим семейство кубов, построенных из 0-куба (точки). Отрезок (1-куб) получен протаскиванием точки в одном направлении, квадрат (2-куб) — протаскиванием отрезка в перпендикулярном направлении, обычный куб (3-куб) — протаскиванием квадрата в новом перпендикулярном направлении. Мы научились интерпретировать результаты двумерных представлений куба. Наконец, четырехмерный гиперкуб (4-куб) строится путем протаскивания 3-куба в еще одном перпендикулярном направлении. Мы, человеческие существа, еще не знаем, как интерпретировать результирующую диаграмму: я показываю два изображения, полученных вращением гиперкуба в разных направлениях.
Чтобы помочь озадаченному муравью, мы можем проделать следующее. Мы осторожно разрежем 3-куб вдоль одной из граней, развернем его, положим на плоскость (рис. 9.3) и расскажем муравью, как нужно сложить грани, чтобы сформировать 3-куб. Муравей будет озадачен тем, каким образом края, которые я пометил жирной линией, могут соприкоснуться, но по крайней мере он будет иметь некоторое отдаленное представление о том, что такое 3-куб, и, возможно, научится интерпретировать наши двумерные представления 3-куба, включая забавную, в чем муравей может поклясться, картинку, на которой мы изображали его шестиугольником.
Рис. 9.3.Обычный куб в трехмерном пространстве может быть построен из крестообразной формы, состоящей из шести квадратов, путем склеивания вместе соседних сторон, перегибания длинной полосы и соединения краев, помеченных жирной чертой. То, что для соединения краев с жирной чертой можно использовать измерение, перпендикулярное к странице, легко увидеть нам, а существам, живущим в двумерном мире, трудно.
Мы знаем теперь достаточно, чтобы построить четырехмерный гиперкуб (4-куб). В математике многое делается по аналогии. Так же как мы протаскивали 0-куб, чтобы получить 1-куб, и так далее, мы построим 4-куб, протаскивая 3-куб (обычный куб) в направлении, перпендикулярном трем первым измерениям. Теперь мы оказались озадаченными муравьями, так как мы не понимаем, что такое направление, перпендикулярное нашим трем измерениям. Все же, в точности так, как муравей, не способный постичь третье измерение, мы можем сделать умственный прыжок и, приняв мысль о том, что оно есть — так же, как муравей, — попытаться понять его по аналогии. Чтобы облегчить себе понимание двумерного образа 4-куба, показанного на рис. 9.2, мы могли бы совершить гипердействие и разрезать куб вдоль некоторой грани, а затем развернуть его в трех измерениях (рис. 9.4). Так же как 3-куб разворачивается на шесть 2-кубов, 4-куб разворачивается на восемь 3-кубов (один 3-куб спрятан в центре верхнего креста). Чтобы вообразить, как 4-куб строится из 3-кубов, которые составляют его поверхность, представим себе склеивание. Нам, 3-читателям, аналогам 2-муравьев, кажется невозможным понять, как, например, могут быть соединены две помеченных грани, так же как у 2-муравья есть похожая проблема с тремя измерениями. У 4-читателя никаких трудностей тут нет.
Рис. 9.4.Теперь мы делаем шаг в следующую размерность и строим гиперкуб из этого набора, содержащего восемь трехмерных кубов (один спрятан прямо под верхним кубом), путем склеивания вместе соседних граней. Нам также нужно склеить две грани, помеченные темными плоскостями и точечной линией. Тем, кто ограничен тремя измерениями, трудно увидеть, как можно выполнить эту операцию, но в четырех измерениях это сделать легко.
Евклидова геометрия была завершена в семнадцатом столетии, когда, как мы видели в главе 3, Исаак Ньютон (1643-1727), дополнив наблюдения Галилея статическим описанием пространства, данным Евклидом, построил описание движения в этом пространстве. Чтобы проделать это, Ньютон ввел понятие силы, влияния, которое отклоняет движение частиц от прямолинейного и заставляет их двигаться с переменной скоростью. В контексте текущего обсуждения мы можем рассматривать вклад Ньютона как первую достаточно успешную попытку соединить время и пространство. Это пытался сделать еще Аристотель, но он не добился успеха, поскольку недооценивал возможности геометрии для определения путей: он думал, исходя из опыта перемещения по земле, что для поддержания движения частицы по прямой линии необходимо прилагать силу. Ньютон, напротив, ощутил возможности геометрии для определения путей частиц. Он ввел понятие силы, чтобы выразить отклонениеот естественного движения, за которое он принял равномерное движение по прямой линии.
Для Ньютона, как и 2000 лет назад для Аристотеля, пространство и время были абсолютны, причем пространство было подмостками, которые делили между собой актеры, играющие на сцене, а время было тикающим параметром, общим для всех них:
Абсолютное пространство, в своей собственной природе, без связи с чем-нибудь внешним, всегда остается однородным и неподвижным… Абсолютное, истинное и математическое время, само по себе, исходя из своей собственной природы, течет равномерно, без связи с чем-нибудь внешним.
Если у меня сегодня четверг, так и у всех четверг, и если у меня на это уходит час, то и у всех на это уходит час. Если для одного наблюдателя две точки удалены друг от друга на километр, то и для всех наблюдателей между ними километр. Другими словами, пространство является фиксированной, абсолютной сценой, а время тикает универсально.
Понятие действия на расстоянии, с помощью которого звезды могли бы искривлять путь отдаленных планет в нечто, подобное кругу, было глубоко озадачивающим. Ньютон и сам видел, что в его теории имелся дефект, Но он реалистически относился к своим возможностям и удовлетворился тем, что оставил эту загадку будущим головам: он откусывал понемногу, а не заглатывал. Голова, почти в одиночку разрешившая загадку, принадлежала Эйнштейну, и в оставшейся части этой главы мы увидим, какого грандиозного понимания он достиг.
Альберт Эйнштейн (1879-1955) двинул цивилизацию вперед двумя шагами. На первом он привязал пространство ко времени более тесным образом, чем пытался это сделать Ньютон. Осуществив это, он разрушил ньютоновские представления об абсолютном пространстве и времени и перечеркнул универсальное тиканье. На втором шаге он устранил одно из величайших достижений Ньютона, понятие универсального тяготения как силы. Великие загадки часто решаются посредством их устранения, и ученые должны получать удовольствие, отбрасывая главенствующие концепции, включая их собственные. Мы присоединимся к Эйнштейну теми же двумя шагами. Второй шаг, более значительный, не может быть пройден без первого, и нам придется проследовать по этому пути, если мы действительно хотим глубоко понять, «что, где и когда» является местом нашего обитания.
