219
ведливо было бы назвать "философией философии", или историю философии. Речь идет именно об истории философии, а не философии вообще, так как свою задачу последняя может выполнить, по мысли Г., только в ее историческом развитии, понимаемом к тому же как необходимый закономерный процесс. Изложенная Г. в его "Лекциях по истории философии" (1833-1836) концепция историко-философского процесса явила собой одну из первых серьезных попыток создания историко-философской науки. Г. представил историю философии как прогрессирующий процесс развития самосознания человеческого духа, в котором каждая отдельная философская система представляет собой необходимый продукт и, соответственно, необходимую ступень этого развития, а также осознание того общего содержания, которого достиг дух человека на определенной его ступени. Гегелевская трактовка истины - Абсолюта - в качестве развившейся, порождающей в диалектической необходимости все ее отдельные моменты и объединяющей их в конкретном единстве, приводит его к своеобразному выводу относительно его собственной философской системы в качестве заключительного звена такого развития. Именно она, восприняв в себя все моменты истины, выступавшие обособленно и даже в противоречии друг к другу, понимает их как необходимые формы развития и таким образом объединяет в себе все предыдущие философские системы в их целостности. В определенном смысле такая претензия имела под собой реальные основания, так как гегелевская философия по своей всеобъемлющей систематизации явилась своеобразной переработкой всего мыслительного материала истории, сплавившей в одно целое содержание мыслей своего времени. Все это, однако, было бы невозможно без глубокого, диалектического осмысления этого грандиозного энциклопедического материала. Диалектический метод буквально пронизывает все стороны гегелевского учения. Согласно Г., диалектический метод, или метод развития, следует понимать как методическое обнаружение и разрешение противоречий, содержащихся в понятиях; а под противоречием он понимал столкновение противоположных определений и разрешение их путем объединения. Главной и постоянной темой его диалектики стала тема единства взаимоисключающих и одновременно взаимно предполагающих друг друга противоположностей, то есть тема противоречия. Оно полагается им как внутренний импульс развития духа вообще, который шаг за шагом переходит от простого к сложному, от непосредственного к опосредованному, от абстрактного к конкретному, все более полному и истинному результату. Такое прогрессирующее движение вперед придает процессу мышления характер постепенно восходящего ряда развития. Г.
очень глубоко и конкретно трактовал природу самого противоречия. Оно для него не есть простое отрицание той мысли, которая только что полагалась и утверждалась; это - двойное отрицание (первое отрицание есть обнаружение противоречия, второе - его разрешение), когда исходная антиномия одновременно и осуществляется и снимается. Иначе говоря, высшая ступень развития включает в себя низшую, последняя же отменяется в ней именно в этом двойственном смысле. Быть отрицаемым, согласно Г., - значит быть одновременно и сохраняемым и возвышаемым. С помощью разработанного им диалектического метода Г. критически переосмыслил все сферы современного ему человеческого знания и культуры, обнаруживая везде на этом пути напряженную диалектику, процесс постоянного отрицания каждого наличного, достигнутого состояния духа последующим, вызревающим в его недрах в виде конкретного, имманентного ему противоречия. [См. Абсолютная идея, "Наука логики" (Гегель), "Феноменология духа" (Гегель), "Философия права" (Гегель), "Энциклопедия философских наук" (Гегель), Немецкая трансцендентально-критическая философия.]
Т.Г. Румянцева
ГЁДЕЛЬ (Godel) Курт (1906 - 1978) - математик и логик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества,
ГЁДЕЛЬ (Godel) Курт (1906 - 1978) - математик и логик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества, автор фундаментального открытия ограниченности аксиоматического метода и основополагающих работ в таких направлениях математической логики, как теория моделей, теория доказательств и теория множеств. В 1924 Г. поступил в Университет Вены. Доктор математики (1930). Приват-доцент Университета Вены, член Венского кружка (1933-1938). Эмигрировал в США (в 1940, с 1953 профессор Принстонского института перспективных исследований). Основные труды: "Полнота аксиом логического функционального исчисления" (докторская диссертация, 1930), "О формально неразрешимых предложениях Principia mathematica и родственных систем" (1931), "О интуиционистском исчислении высказываний" (1932), "О интуиционистской арифметике и теории чисел" (1933), "Одна интерпретация интуиционистского исчисления высказываний" (1933), "Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств" (1940), "Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения" (1958). В конце 1920-х Гильбертом и его последователями были получены доказательства полноты некоторых аксиоматических систем. Полнота аксиоматической системы рассматривалась ими как свойство системы аксиом данной аксиоматической теории,
220
характеризующее широту охвата этой теорией определенного направления математики. В математических теориях, конструируемых на основаниях материальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории даны с самого начала (т.е. определенную интерпретацию данной теории полагают фиксированной). В рамках такой теории стали возможны рассуждения о выводимости ее утверждений из аксиом и рассуждения об истинности таких утверждений. Полнота системы аксиом в данном случае соответствовала совпадению этих понятий. (Пример аксиоматики такого вида - аксиоматика геометрии Евклида.) В математических теориях, конструируемых на основаниях формальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории остаются неопределенными во время вывода теорем из аксиом. В данном случае система аксиом называлась полной относительно данной интерпретации, если из нее были выводимы все утверждения, истинные в этой интерпретации. Наряду с таким понятием полноты определялось и другое ее понятие, являвшееся внутренним свойством аксиоматической системы (не зависимым ни от одной из ее интерпретаций): систему аксиом называли дедуктивно полной, если всякое утверждение, формулируемое в данной теории, может быть либо доказанной (являясь в таком случае теоремой), либо опровергнутой (в смысле возможности доказательства его отрицания). При этом, если аксиоматическая теория полна относительно некоторой интерпретации, то она является дедуктивно полной; и наоборот, если теория дедуктивно полна и непротиворечива (т.е. все теоремы истинны) относительно данной интерпретации, то она является полной относительно этой интерпретации. Понятие дедуктивной (внутренней) полноты "удобная характеристика" аксиоматической теории при конструировании ее в виде формальной системы. На таком основании Гильбертом была выстроена искусственная система, включающая часть арифметики, с доказательствами ее полноты и непротиворечивости. Подход Г. в целом относится к конструктивному направлению математики: в интуиционистской трактовке истинности высказывания истинной он считал только рекурсивно реализуемую формулу (сводимую к функции от чисел натурального ряда). Тем самым интуиционистская арифметика становилась расширением классической. Одновременно конструируя и логику, и арифметику, Г. вынужденно отказался от логицистского тезиса Фреге о полной редуцируемости математики к логике. Г. обосновывал математику разработанным им же методом арифметизации метаматематики, заключающимся в замене рассуждений о выражениях любого логико-математического языка рассуждениями о натуральных числах. Этот метод Г. поместил в основу дока
зательства "теоремы Г. о полноте" исчисления предикатов классической логики предикатов (первого порядка), а позднее - в две важнейшие теоремы о неполноте расширенного исчисления предикатов, известных под общим названием "теорема Г. о неполноте". Г. в своей докторской диссертации (1930) доказал теорему о полноте исчисления классической логики предикатов: если предикатная формула истинна в любой интерпретации, то она выводима в исчислении предикатов (другими словами, любая формула, отрицание которой невыводимо, является выполнимой). Являясь одной из базисных теорем математической логики, теорема Г. о полноте показывает, что уже классическое исчисление предикатов содержит все логические законы, выражаемые предикатными формулами. Усиление теоремы о полноте классического исчисления логики предикатов утверждает, что всякая счетная последовательность формул, из которой нельзя вывести противоречия, выполнима. При этом, если из множества предикатных формул P невозможно вывести противоречие в рамках предикатного исчисления, то для множества P существует модель, т.е. интерпретация, в которой истинны все формулы множества Р. Доказательство полноты исчисления классической логики предикатов породило в школе Гильберта некоторые надежды на возможность доказательства полноты и непротиворечивости всей математики. Однако уже в следующем, 1931, году была доказана теорема Г. о неполноте. Первая теорема о неполноте утверждает, что если формальная система арифметики непротиворечива, то в ней существует как минимум одно формально неразрешимое предложение, т.е. такая формула F, что ни она сама, ни ее отрицание не являются теоремами этой системы. Иными словами, непротиворечивость рекурсивной арифметики делает возможным построение дедуктивно неразрешимого предложения, формализуемого в исчислении, т.е. к существованию и недоказуемой, и неопровержимой формулы. Такая формула, являясь предложением рекурсивной арифметики, истинна, но невыводима, несмотря на то, что по определению она должна быть такой. Следовательно, непротиворечивость формализованной системы ведет к ее неполноте. Усилением первой теоремы о неполноте является вторая теорема о неполноте, утверждающая, что в качестве формулы F возможен выбор формулы, естественным образом выражающей непротиворечивость формальной арифметики, т.е. для непротиворечивого формального исчисления, имеющего рекурсивную арифметику в качестве модели, формула F выражения этой непротиворечивости невыводима в рамках данного исчисления. Согласно теореме Г. о неполноте, например, любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел (аддитивные и
