Сложилась довольно парадоксальная картина. С одной стороны, мир математики представлялся сугубо субъективным «продуктом»; с другой - математические объекты и образы продолжали демонстрировать свою явную подчиненность вполне определенным правилам и закономерностям.
Любопытно, что ньютоно-картезианская парадигма полностью обходила вниманием данный факт… Она была явно бессильна его объяснить: еще бы, ведь речь шла о явно нематериальных объектах…
До недавнего времени казалось, что математика окончательно оторвалась от других наук, но…
«В семидесятые годы ХХ века Мандельброт выпустил книгу, где собрал богатый материал, убедительно вводивший в практический оборот многие из казавшихся безнадежно «абстрактными», «заумными», «патологическими» математических конструктов. И канторовы дисконтинуумы, и покрывающая всю плоскость кривая Пеано, и ковры-кривые Коха и Серьпиньского выглядят теперь как обнаруженные в реальности «главы» из «геометрии природы»; они помогли понять лунный пейзаж, скопления галактик и многое другое столь же невыдуманное, а глазам предлежащее» (Р.Пименов, «Дифференциальные уравнения - насколько они оправданы»).
«Блудная дочь» вернулась в реальный мир…
«Даже дробная размерность (ну кому может присниться число измерений пространства, равное не целому числу! А математики «загодя» и такое ввели) по Хаусдорфу и Безиковичу - и та эмпирически сгодилась для измерения столь важного земного объекта, как длина береговой линии побережья, изрезанного бухточками и подверженного приливам и отливам. Вопреки интуитивному убеждению, будто кривая линия всегда имеет размерность единица, линия британского побережья точнее вычисляется, если приписать ей размерность полтора. Нигде не дифференцируемая кривая Вейерштрасса пригодилась для описания броунова движения и качки корабля, т.е. его остойчивости. И, наконец триумфально вошли и научный оборот так называемые «странные аттракторы». Этот термин относится к полуэмпирически составленным метеорологическим уравнениям для течения неоднородно нагретого неоднородного газа, которые при их численном решении на компьютерах вдруг стали выдавать такие рисунки для распределения как бы притягивающихся один к другому слоев («аттракторы»), которые выглядели в точности как построение канторова дисконтинуума - заумнейшей модели, которая одно время и математикам-то казалась ненужной» (там же).
Заметим, что в действительности это - уже второе «возвращение» математики к реальности. Первое произошло тогда, когда казавшаяся полной абстракцией геометрия Римана и Лобачевского нашла свое применение в теории Эйнштейна… Оба эти «возвращения» объединяет тот примечательный факт, что ранее абстрактные объекты, плоды человеческого сознания и математических закономерностей, стали обнаруживаться как присутствующие в природе и перестали нести функцию чисто умозрительных конструкций.
Уже сам данный факт, пусть и косвенно, свидетельствует о глубинной взаимосвязи даже столь специфических объектов духовно-нематериального мира с миром материальным!.. Но еще более любопытны некоторые детали «возвращения»…
Рассмотрим, например, фрактали, т.е. дробные размерности… В случае с береговой линией мы имеем дело с пересечением двух двумерных поверхностей сложной формы: поверхности воды и земной поверхности. Казалось бы, результатом их «взаимодействия» должна быть одномерная линия, но, как указывалось выше, гораздо лучший результат дает размерность полтора. Здесь мы опять сталкиваемся с фактом того, что важно не ЧТО взаимодействует, а КАК (см. тенденции физики)!..
Но есть еще более «экзотичные штучки»…
«Кантором построена функция (которая называется то «чертовой лестницей», то «канторовой лестницей»…) с такими странными свойствами: она непрерывна на интервале, она почти везде на интервале имеет производную, всюду в точках существования производной производная равна нулю, но функция эта не постоянная, а монотонно возрастает на данном интервале, так что на концах любого интервала ее значения различны. Итак, из df = 0 не следует f = const. Значит, материальная точка в ньютоновой механике могла бы двигаться по такому закону: всюду, где она имеет мгновенную скорость, эта скорость равна нулю. Частица эта обладает мгновенной скоростью почти везде; это означает, что вероятность того, что в данный момент времени она имеет мгновенную скорость, - всегда равна единице. И тем не менее частица не покоится на месте, но перемещается. Неуклонно в одном и том же направлении, поступательно, по прямой. Разумеется, это возможно исключительно за счет недифференцируемости траектории, хотя бы и на множестве меры нуль. Отметим еще, что и структура пространства-времени весьма существенна: такое возможно лишь при существовании сколь угодно быстрого перемещения (впрочем, не бесконечно быстрого); в условиях же ограниченности скоростей скоростью света изложенный парадокс невозможен. Но вот другое применение той же чертовой лестницы допустимо и к ньютоновой и к релятивистской механике. Возможно, что у материальной точки всегда d2x/dt2 = 0 там, где d2x/dt2 = 0 существует, а d2x/dt2 = 0 существует почти везде (т.е. существует с вероятностью единица). При этом dx(0)/dt = 0, x(0) = 0, но движение этой точечной массы происходит не по известным инерциальным законам x(t) = 0, но с переменной скоростью, с переменными импульсами. А ведь уравнение d2x/dt2 = 0 вроде бы «ручается» за отсутствие внешних сил!» (там же).
Итак, физика только-только подбирается к существованию взаимодействий со скоростями, превышающими скорость света, а в математике уже готов соответствующий этому явлению объект!!!
Но и этим дело не ограничивается!.. Как упоминалось ранее, вопрос о наличии взаимодействия со скоростью, превышающей скорость света, в физических теориях связан с положением о непрерывном взаимодействии всех частиц во Вселенной. Сравните это со следующей цитатой:
«…эту самую чертову лестницу пришлось использовать не для описания вышеуказанной гипотетической частицы (т.е. контрпримера в определенных теоретических рассуждениях), а для изображения резонанса бесконечно многих источников, когда вычисления велись на компьютерах. Только она дала согласованное с эмпирикой решение для очень большого числа источников» (там же).
Не правда ли, поразительное совпадение?!.
Заметим, что все вышеприведенное целиком и полностью соответствует положениям новой научной парадигмы и Единой Физике Духа и Материи, выстраиваемой на основе этой парадигмы.
Можно привести и еще один пример данного соответствия… Ранее мы уже упоминали об ошибочном использовании синергетикой дифференциальных уравнений для описания вероятностных процессов, поскольку дифференциальные уравнения соответствуют лишь детерминистическим процессам, коими вероятностные не являются. Перечисленная математическая «экзотика» как раз и относится к тем самым случаям, когда дифференциальные методы не работают. Но оказывается, что при этом работают интегральные методы.
«Ну, в утешение. Хотя при включении в рассмотрение непрерывных не-гладких структур парадигма дифференциальных уравнений ломается, все же сохраняется неизменной парадигма интегральных уравнений, поскольку особенности на множестве меры нуль (особенности с нулевой вероятностью их проявления) погашаются при интегрировании» (там же).
То есть работоспособными оказываются методы, основанные на обратной к дифференцированию операции…
Однако, что такое «интегрирование» с точки зрения физики, и где оно применимо?.. Оно используется не при прогнозировании развития событий, а при анализе прошедших событий!.. И здесь вполне уместно вспомнить об одном из базовых положений Единой Физики Духа и Материи: однозначность и неизменность прошлого сочетается с вероятностным характером будущего. Как легко видеть, вышеприведенная математическая «экзотика» опять-таки полностью соответствует этому принципу!..
